T1 新的阶乘（factorial）
线性筛出质数和每个数的最小质因数，然后直接算即可。
T2 博弈树（tree）
结论：当且仅当起点为直径中心时，后手必胜。
证明：先考虑只在直径上的博弈，如果起点在直径的一端，先手必胜，设直径长为 \(len\)，如果在端点的下一个位置，先手可以移动 \(len-2\) 到对称位置，此时后手只能移动到直径端点，先手必胜。考虑再下一个位置，先手还是先移动到对称位置，后手无论怎样移动，都是先手的必胜点。当且仅当起点为中心时，先手无法移动至必败点，此时先手必败。
因为直径是树的最长链，其他节点相当于直径上的点的复制点，所以整个树的博弈可以归纳到直径上。
然后对于直径长度的奇偶性简单分讨一下即可。
T3 划分（divide）
简单观察发现答案是只留一个极长段，剩下每段长度为一。
简单分几种情况：
- 我会特判！全是
0，直接输出0和方案数即可。 - 我还会一个特判！段数等于长度是只有一种方案，贡献是
1的个数。 - 我是特判大师！没有一个开头为
1的段满足长度，所以直接找第一个1即可，方案数插板求得。
都想到最后一个特判了，不难想到对于一般情况就是找出极大段的数量，我会滑动窗口，但是这题要求取模，不能直接比较大小。一个经典的东西是两个数比较大小是，一定是比较第一个两个数不同的位置，所以可以二分加哈希找出这个位置。
对于最后一位，无论是什么，都无所谓，因为它的贡献在段内也是 \(1\)，在段外也是 \(1\)，所以只用比 \(len-1\) 的长度段即可。
哈希什么不确定算法，我会最小表示法，找到最大之后 KMP 即可，轻松爆标，笑点解析：没有哈希 + 二分跑得快