1. \(2^{10}-{10\choose 0}-{10\choose 10}-{10\choose 5} = 770\).
2. \(\dfrac{6!}{3!3!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^7\). \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4+4\left(\dfrac{1}{2}\right)^5+\dfrac{5!}{3!2!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^6+\dfrac{6!}{3!3!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^7\).
3. (a) \(1/91\). (b) \(\dfrac{1}{12\choose 4}\)
4. \(\dfrac{3{5\choose 3}{2\choose 1}{4\choose 2}}{{9\choose 3}{6\choose 3}}=\dfrac{3}{14}\).
5. 设投出正面概率为 \(p\), 则 \(5p(1-p)^4={5\choose 2}p^2(1-p)^3\Rightarrow p=1/3\). 答案为 \({5\choose 3}p^3(1-p)^2=40/243\).
6. 在正十二边形上的每一对点都能生成三个正方形 (作为一条边可以生成两个, 作为对角线可以生成一个), 共 \(3{12\choose 2}\) 个. 对于一个四个顶点都在多边形上的正方形, 被计算了 \(6\) 次, 需减去 \(3\times 5=15\). 最终答案为 \(183\).
7. \(\displaystyle{{m\choose k}{n\choose k}}\).
8. 在模 \(3\) 意义下, \([34]\) 中与 \(0,1,2\) 同余的分别有 \(12,11,11\) 个. 对三个数的余数分类讨论: (1) 均为 \(0\) 或 \(1\) 或 \(2\), \({12\choose 3}+2{11\choose 3}\) 种; (2) \(0,1,2\), \(12\times 11\times 11\) 种; 共 \(2002\) 种.
9. \((3!)^3+3^2(3!)^2+3^33!=702\).
10. \(\displaystyle{{m-k+1\choose k}-{m-k-1\choose k-2}=\frac{m}{m-k}{m-k\choose k}}\).
11. 系统的分析需要 Burnside 引理, 从略. 共 \(30667\) 种.
12. 先考虑一条线. 记 \(A\) 向 \(BC\) 做的垂线为 \(P\), 先计算这条线上有多少个交点. 对于 \(B,C\), 它们向除了 \(AC\) 或 \(AB\) 之外的直线做的垂线都会与 \(P\) 相交 (我们暂不计算向 \(AC\) 或 \(AB\) 做的垂线, 因为它们会与 \(P\) 交于一点), 这些共有 \(10\) 个. 对于 \(D,E\), 也共有 \(10\) 个 (因为过 \(D,E\) 做 \(BC\) 的垂线与 \(P\) 平行). 而形如 \(P\) 的垂线一共有 \({5\choose 1}{4\choose 2}=30\) 条, 所以交点一共为 \(\dfrac{30 \times (10+10)}{2} = 300\) 个 (除以 \(2\) 是因为每个交点被算了 \(2\) 次). 接下来考虑三垂线交于一点的交点, 共 \({5\choose 3}=10\) 个, 再算上五个点本身, 一共 \(315\) 个.
标签：11,10,12,dfrac,aPtCfU,Chapter2,choose,垂线,Solutions From： https://www.cnblogs.com/wzzyr24/p/16839336.html