这张图展示了逻辑回归模型在处理分类数据时的一个示例,特别是关于肿瘤大小与肿瘤性质(良性或恶性)之间的关系。
图中各个部分的解释:
- 坐标轴:
- 横轴(X轴)表示肿瘤的大小。
- 纵轴(Y轴)表示肿瘤是良性(0)还是恶性(1)。
- 数据点:
- 蓝色圆圈代表良性肿瘤。
- 红色叉号代表恶性肿瘤。
- 决策边界:
- 蓝色曲线是逻辑回归模型的决策边界,代表的是逻辑回归模型预测的概率输出。具体来说,蓝色线是逻辑回归模型的 Sigmoid 函数的图形表示,它将输入的肿瘤大小转换为肿瘤为恶性的概率。
Sigmoid 函数的作用:
Sigmoid 函数的数学表达式通常为:
[ \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} ]
其中 ( z ) 是线性组合的输入特征(在这个例子中是肿瘤大小),( \sigma(z) ) 是输出的概率值,介于 0 和 1 之间。
蓝色线的意义:
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概率解释:蓝色线上的每个点对应于肿瘤大小的一个特定值,表示模型预测该肿瘤为恶性的概率。
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决策边界:蓝色线本身可以视为一个“软”决策边界,与橙色线的“硬”决策边界(直接分类)相对。在橙色线上,任何一侧的点都被明确分类为良性或恶性。而蓝色线则提供了一个概率解释,即随着肿瘤大小的增加,模型预测为恶性的概率也在增加。
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概率阈值:通常,我们会选择一个概率阈值(如0.5),来决定将肿瘤分类为良性还是恶性。如果模型预测的概率大于这个阈值,肿瘤被分类为恶性;否则,分类为良性。
蓝色线在逻辑回归图中提供了一个连续的概率输出,帮助我们理解模型是如何根据输入特征(肿瘤大小)来预测输出结果(肿瘤性质)的。这种概率输出比简单的分类提供了更多的信息,允许我们在实际应用中根据具体需求调整分类阈值。- 橙色线表示线性回归模型的决策边界,它是一个直线,表示肿瘤大小与肿瘤性质之间的线性关系。
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概率解释:
- 蓝色曲线下方的区域表示较低的概率(接近0),而上方的区域表示较高的概率(接近1)。
- 曲线的形状表明,随着肿瘤大小的增加,模型预测肿瘤为恶性的概率也在增加。
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操作说明:
- 图下方有两个按钮:“Run Logistic Regression”(运行逻辑回归)和“Toggle 0.5 threshold (after regression)”(切换0.5阈值)。
- 点击“Run Logistic Regression”按钮可以运行逻辑回归模型,模型会根据当前的数据点来确定最佳的决策边界。
- 点击“Toggle 0.5 threshold”按钮可以在应用逻辑回归后切换0.5的阈值,这意味着模型会根据这个阈值来决定将数据点分类为良性还是恶性。
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交互功能:
- 图中提示“[Click to add data points]”表示你可以通过点击图中的空白区域来添加新的数据点,这些点可以是良性或恶性的肿瘤。
逻辑回归的工作原理:
逻辑回归模型通过一个线性方程来预测事件发生的概率。在这个例子中,模型会根据肿瘤的大小来预测它是良性还是恶性。模型的输出是一个介于0和1之间的概率值,表示肿瘤为恶性的概率。通常,我们会选择一个阈值(如0.5),如果模型预测的概率大于这个阈值,我们就将肿瘤分类为恶性;否则,分类为良性。
这幅图通过可视化的方式帮助我们理解逻辑回归如何根据输入特征(肿瘤大小)来预测输出结果(肿瘤性质),并通过调整决策边界来优化分类的准确性。
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