文章目录
- 等价关系
- 参考文献
等价关系
等价关系定义
是一种特殊的二元关系，应用于集合中的元素对，并且满足以下三个基本性质：
- 自反性 (Reflexivity)：对于集合中的任意元素 a a a，必须满足 a ∼ a a \sim a a∼a。
- 对称性 (Symmetry)：如果 a ∼ b a \sim b a∼b，那么 b ∼ a b \sim a b∼a。
- 传递性 (Transitivity)：如果 a ∼ b a \sim b a∼b且 b ∼ c b \sim c b∼c，那么 a ∼ c a \sim c a∼c。
等价关系常见于数学中的许多领域，例如模运算、几何和线性代数等。在等价关系下，一个集合的所有元素可以被划分为互不相交的等价类，每个等价类包含所有等价的元素。
- 模运算等价类
kill(all)$
declare([a,b,c,n], integer)$
assume(n>0)$
equivalent(x,y,n):=equal(mod(x,n),mod(y,n));
is(equivalent(a,a,n)=equivalent(a,a,n));
is(equivalent(b,b,n)=equivalent(b,b,n));
assume(equivalent(a,b,n))$
is(equivalent(b,a,n));
assume(equivalent(b,c,n))$
is(equivalent(a,c,n));
facts();
Maxima 计算机代数系统中，declare 命令
用于声明变量的特定属性或类型。通过给变量声明属性，可以帮助 Maxima 在计算中使用这些信息以简化表达式、提高计算效率或适当地应用规则。
使用语法
基本语法如下：
declare(变量, 属性);
其中，变量 是需要声明的变量名称，属性 是要应用的属性，可以是以下几种常见的类型或其他特殊属性。
常用的属性类型
-
整型（integer）：
- 声明一个变量为整数。
- 语法：
declare(x, integer); - 作用：使 Maxima 了解变量在表达式中始终是整数，以便进行整数特定的简化。
-
偶数（even）和奇数（odd）：
- 声明变量为偶数或奇数。
- 语法：
declare(x, even);或declare(y, odd); - 作用：告知 Maxima 变量是否为偶数或奇数，以便在模运算或相关运算中使用。
-
复数（complex）和实数（real）：
- 声明变量为复数或实数。
- 语法：
declare(z, complex);或declare(x, real); - 作用：确定变量的范围，帮助在符号计算中对复数或实数进行适当的简化。
-
标量（scalar）：
- 声明变量为标量。
- 语法：
declare(a, scalar); - 作用：声明非矩阵或向量变量，用于向量和矩阵运算中。
-
恒等式（constant）：
- 声明变量为常数。
- 语法：
declare(k, constant); - 作用：在微分运算等过程中将该变量视为常数。
-
整除（divides）：
- 声明整除属性。
- 语法：
declare(a, divides(b)); - 作用：声明变量 ( a ) 能整除 ( b )，有助于 Maxima 在数论或同余运算中进行简化。
示例
1. 声明整数属性
declare(n, integer);
expand((n + 1)^2);
在此例中，Maxima 将 n 视为整数，并会进行相应的展开。
2. 声明偶数属性
declare(m, even);
is(m^2 mod 2 = 0);
由于 m 是偶数，m^2 的结果为偶数，因此 Maxima 将返回 true。
3. 声明复数属性
declare(z, complex);
conjugate(z^2);
因为 z 是复数，Maxima 会将其共轭计算为 (conjugate(z))^2。
注意事项
- 多个属性可以通过逗号分隔一次性声明，例如
declare(x, integer, even);。 declare的声明通常是全局的，因此在计算结束后需要用remvalue(x);来移除声明的属性。
总结
declare 在 Maxima 中为变量赋予特定属性，适用于在数学简化、符号运算、数论以及向量/矩阵运算等方面指定变量的属性。
在 Maxima 中，assume 命令
用于假设变量满足某些条件或属性，例如大于零、为正整数、属于特定范围等。assume 命令在符号计算中尤其有用，因为它帮助 Maxima 应用用户设定的条件，从而得到更符合预期的结果。
使用语法
基本语法如下：
assume(条件);
其中，条件 是一个逻辑表达式，例如 x > 0 或 a < b，用于告诉 Maxima 变量或表达式的特定属性。
常见用途和示例
-
假设变量为正数：
- 语法：
assume(x > 0); - 作用：告诉 Maxima
x是正数，这样在符号运算中可以简化涉及x的表达式。
示例：
assume(x > 0); sqrt(x^2);Maxima 将输出
x而不是abs(x)，因为假设了x为正数。 - 语法：
-
假设变量属于特定范围：
- 语法：
assume(a < b); - 作用：指定变量的范围关系，这对于不等式的简化和求解非常有用。
示例：
assume(a < b); is(a + 1 < b + 1);Maxima 会返回
true，因为根据假设，a小于b。 - 语法：
-
假设多个条件：
- 语法：
assume(x > 0, y < 10); - 作用：可以同时假设多个条件，以便更复杂的符号运算。
示例：
assume(x > 0, y < 10); is(x + y < 20);Maxima 会根据假设来判断表达式的值。
- 语法：
-
假设变量为整数：
- 语法：
assume(integer(n)); - 作用：告诉 Maxima
n是一个整数，使其在数论运算或整数运算中正确简化。
示例：
assume(integer(n)); is(n^2 mod 2 = 0);Maxima 将会判断
n^2 mod 2是否为 0。 - 语法：
-
假设变量为正整数：
- 语法：
assume(integer(n), n > 0); - 作用：同时假设变量为整数且大于零，常用于整数优化、约束条件等。
示例：
assume(integer(n), n > 0); is(n mod 2 = 0);如果没有更多信息，Maxima 无法确定
n是奇数还是偶数，因此它可能返回unknown。 - 语法：
管理假设
在使用假设时，需要了解如何查看和清除假设。
-
查看所有假设：
- 语法：
facts(); - 作用：列出所有当前的假设条件。
- 语法：
-
清除假设：
- 语法：
forget(条件);或forget(all); - 作用：清除特定假设或清除所有假设。
示例：
forget(x > 0); forget(all); /* 清除所有假设 */ - 语法：
assume 与 declare 的区别
assume是在具体表达式或计算范围内临时假设条件，适用于不确定性较高的计算。declare是为变量声明特定属性，多用于全局、类型明确的声明，如整数、偶数等。
总结
assume 在 Maxima 中可用于指定条件和属性，使符号运算更灵活精准。通过合理设置 assume 条件，可以帮助 Maxima 获得更符合实际情况的计算结果，同时也应及时管理假设条件以避免冲突。
在 Maxima 中，列表
是一个灵活的数据结构，允许增加和删除元素。以下是如何操作 Maxima 中的列表的详细说明：
1. 创建列表
在 Maxima 中，使用方括号 [ 和 ] 创建列表。
示例：
list1 : [1, 2, 3, 4, 5];
2. 向列表中添加元素
(1) 使用 endcons 添加元素到列表末尾
endcons 函数将一个元素添加到列表的末尾。
语法：
new_list : endcons(新元素, 原列表);
示例：
将 6 添加到 list1 的末尾：
list1 : endcons(6, list1);
结果为 [1, 2, 3, 4, 5, 6]。
(2) 使用 cons 添加元素到列表开头
cons 函数将一个元素添加到列表的开头。
语法：
new_list : cons(新元素, 原列表);
示例：
将 0 添加到 list1 的开头：
list1 : cons(0, list1);
结果为 [0, 1, 2, 3, 4, 5]。
3. 删除列表中的元素
(1) 删除列表中的第一个元素
可以使用 rest 函数删除列表中的第一个元素。
语法：
new_list : rest(原列表);
示例：
删除 list1 中的第一个元素：
list1 : rest(list1);
结果为 [2, 3, 4, 5]。
(2) 删除指定位置的元素
Maxima 没有直接删除指定位置元素的函数，但可以通过组合 remove 函数和条件语句来实现。
语法：
new_list : delete(要删除的元素, 原列表);
示例：
删除 list1 中的元素 3：
list1 : delete(3, list1);
结果为 [1, 2, 4, 5]。
4. 列表拼接
可以使用 append 函数将两个或多个列表拼接成一个列表。
语法：
new_list : append(列表1, 列表2, ...);
示例：
将 [6, 7, 8] 拼接到 list1：
list1 : append(list1, [6, 7, 8]);
结果为 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。
5. 查找元素位置
使用 position 函数可以找到某个元素在列表中的位置（从 1 开始计数）。
示例：
查找元素 3 在 list1 中的位置：
position(3, list1);
结果为 3，表示 3 是 list1 中的第 3 个元素。
6. 获取列表长度
可以使用 length 函数获取列表的长度。
示例：
获取 list1 的长度：
length(list1);
如果 list1 为 [1, 2, 3, 4, 5]，结果为 5。
总结
- 添加元素到末尾：
endcons - 添加元素到开头：
cons - 删除第一个元素：
rest - 删除指定元素：
delete - 拼接列表：
append - 查找位置：
position - 获取长度：
length
在 Maxima 中，for 循环
可以用于执行重复操作。Maxima 提供了多种 for 循环格式，包括简单的递增、递减以及条件控制。以下是 for 循环的详细用法。
1. 基本语法
语法：
for 变量 : 起始值 thru 结束值 do 表达式;
变量是循环变量。起始值是循环的起始值。结束值是循环的结束值。表达式是每次循环执行的内容。
示例：
打印 1 到 5 的数字：
for i : 1 thru 5 do print(i);
输出：
1
2
3
4
5
2. 递增步长的 for 循环
可以使用 step 关键字来设置步长，指定每次增加或减少的值。
语法：
for 变量 : 起始值 step 步长 thru 结束值 do 表达式;
示例：
打印从 1 到 10，每次增加 2 的数字：
for i : 1 step 2 thru 10 do print(i);
输出：
1
3
5
7
9
3. 递减步长的 for 循环
当 step 为负数时，可以创建一个递减的 for 循环。
示例：
打印从 10 到 1，每次减少 2 的数字：
for i : 10 step -2 thru 1 do print(i);
输出：
10
8
6
4
2
4. for in 循环
Maxima 支持 for in 循环，用于遍历列表中的每个元素。
语法：
for 变量 in 列表 do 表达式;
示例：
遍历列表 [1, 3, 5, 7, 9] 并打印每个元素：
for x in [1, 3, 5, 7, 9] do print(x);
输出：
1
3
5
7
9
5. 嵌套 for 循环
可以嵌套 for 循环来处理多维数据结构或执行多重循环操作。
示例：
打印一个简单的 3x3 矩阵索引：
for i : 1 thru 3 do (
for j : 1 thru 3 do print([i, j])
);
输出：
[1, 1]
[1, 2]
[1, 3]
[2, 1]
[2, 2]
[2, 3]
[3, 1]
[3, 2]
[3, 3]
6. 使用 for 循环计算结果
可以在 for 循环中定义变量并进行累计或乘积计算。
示例：
计算 1 到 5 的和：
sum : 0;
for i : 1 thru 5 do sum : sum + i;
sum;
结果为 15。
7. 条件控制 for 循环
可以结合 if 语句在 for 循环中执行条件判断。
示例：
打印 1 到 10 中的偶数：
for i : 1 thru 10 do (
if evenp(i) then print(i)
);
输出：
2
4
6
8
10
总结
- 基本循环：
for i : 起始值 thru 结束值 do 表达式 - 递增/递减步长：
for i : 起始值 step 步长 thru 结束值 do 表达式 - 列表遍历：
for i in 列表 do 表达式 - 嵌套循环：可以嵌套多个
for循环 - 条件控制：结合
if语句
模 n n n 等价类
模 n n n 等价类（模运算的等价类）是指在整数集合中，根据模 n n n 运算对整数进行分类得到的集合。假设 n n n 是一个正整数，对于任意两个整数 a a a 和 b b b，如果 a a a 和 b b b 对 n n n 求余相等（即 a ≡ b ( m o d n ) a \equiv b \pmod{n} a≡b(modn)），那么 a a a 和 b b b 属于同一个模 n n n 的等价类。
定义
对一个整数 n n n 而言，模 n n n 的等价类的定义如下：
- 等价关系：如果两个整数 a a a 和 b b b 满足 a − b a - b a−b 是 n n n 的倍数，那么 a a a 与 b b b 被认为是等价的，即 a ≡ b ( m o d n ) a \equiv b \pmod{n} a≡b(modn)。
- 等价类表示：等价类可以记作 [ a ] [a] [a]，其中 [ a ] [a] [a] 表示所有与 a a a 模 n n n 同余的整数的集合。
等价类的性质
- 每一个整数 a a a 都可以被分配到一个唯一的等价类 [ a ] [a] [a] 中。
- 对于模 n n n 的等价类而言，总共有 n n n 个不同的等价类，即 [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] , … , [ n − 1 ] [0], [1], [2], \dots, [n-1] [0],[1],[2],…,[n−1]，分别表示除以 n n n 的余数为 0 到 n − 1 n-1 n−1 的集合。
举例说明
以模 3 3 3 为例：
- 整数 1、4、7 等对 3 取模的结果是 1，因此它们属于同一个等价类，记作 [ 1 ] [1] [1]。
- 整数 2、5、8 等对 3 取模的结果是 2，因此它们属于同一个等价类，记作 [ 2 ] [2] [2]。
- 整数 0、3、6 等对 3 取模的结果是 0，因此它们属于同一个等价类，记作 [ 0 ] [0] [0]。
对于模 3 3 3，一共有三个等价类： [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] [0], [1], [2] [0],[1],[2]。
负数取模 n n n时的结果
是一个非负整数，代表在 n n n的等价类中相对应的正余数。通常，我们通过将负数“向上移动”至相应的正余数来找到其模 n n n的值。具体步骤如下：
负数取模 n n n的计算方法
设 a a a是一个负整数， n n n是一个正整数。负数 a a a的模 n n n值可以通过以下步骤计算：
-
计算原始余数：先计算 a a a对 n n n的余数。例如，如果 a = − 7 a = -7 a=−7且 n = 5 n = 5 n=5，计算 − 7 ÷ 5 -7 \div 5 −7÷5的余数，得到 − 7 m o d 5 = − 2 -7 \mod 5 = -2 −7mod5=−2。
-
调整为非负余数：将负余数加上模数 n n n，得到正余数。例如：在上例中，将 − 2 -2 −2加上 5 5 5，得到 3 3 3。
因此，最终的结果为 − 7 ≡ 3 ( m o d 5 ) -7 \equiv 3 \pmod{5} −7≡3(mod5)。
举例说明
-
示例 1： − 7 m o d 5 -7 \mod 5 −7mod5
- 第一步： − 7 ÷ 5 = − 2 -7 \div 5 = -2 −7÷5=−2的余数是 − 2 -2 −2。
- 第二步： − 2 + 5 = 3 -2 + 5 = 3 −2+5=3，所以 − 7 m o d 5 = 3 -7 \mod 5 = 3 −7mod5=3。
-
示例 2： − 15 m o d 4 -15 \mod 4 −15mod4
- 第一步： − 15 ÷ 4 = − 4 -15 \div 4 = -4 −15÷4=−4的余数是 − 3 -3 −3。
- 第二步： − 3 + 4 = 1 -3 + 4 = 1 −3+4=1，所以 − 15 m o d 4 = 1 -15 \mod 4 = 1 −15mod4=1。
通用公式
对于任意负整数
a
a
a和正整数
n
n
n，可以用公式：
a
m
o
d
n
=
(
a
%
n
+
n
)
%
n
a \mod n = (a \% n + n) \% n
amodn=(a%n+n)%n
其中 a % n 表示普通取模运算的结果，加入
+
n
+ n
+n可以将负余数调整为正余数，再进行一次取模操作确保结果在范围内。
总结
负数取模的结果通常是一个非负整数，表示在模 n n n的范围内等价的正余数。
等价关系的例子
-
整数的模 n n n等价关系
给定一个正整数 n n n，我们可以定义一个等价关系 ∼ \sim ∼如下：
- a ∼ b a \sim b a∼b当且仅当 a a a和 b b b在模 n n n意义下同余，也就是说 a − b a - b a−b可以被 n n n整除，或者 a ≡ b ( m o d n ) a \equiv b \pmod{n} a≡b(modn)。例如，模 3 的等价关系将所有整数分为 3 个等价类：余数为 0、1 和 2 的整数分别在一个类中。
kill(all)$
declare([a,b,c,n], integer)$
n:3$
equivalent(x,y,n):=equal(mod(x,n),mod(y,n));
is(equivalent(a,a,n)=equivalent(a,a,n));
is(equivalent(b,b,n)=equivalent(b,b,n));
assume(equivalent(a,b,n))$
is(equivalent(b,a,n));
assume(equivalent(b,c,n))$
is(equivalent(a,c,n));
- 集合上的相同元素个数的划分
在集合 S = { A ∣ A ⊂ { 1 , 2 , 3 , a , b , c , d } } S = \{ A \mid A \subset \{1, 2, 3,a,b,c,d\} \} S={A∣A⊂{1,2,3,a,b,c,d}}上定义等价关系 ∼ \sim ∼，如果两个子集 A A A和 B B B含有相同个数的元素，则 A ∼ B A \sim B A∼B。这个等价关系会将集合 S S S分成等价类，每个类包含具有相同个数元素的子集。
kill(all);
/* 定义一个函数 subsets，用于枚举所有子集,生成幂集 */
subsets(lst) :=
if lst = [] then
[[]]
else
block(
/* 取出列表的第一个元素 */
[first_element, rest, subsets_rest],
first_element : first(lst),
rest : rest(lst),
/* 递归调用 subsets 处理剩余元素 */
subsets_rest : subsets(rest),
/* 将第一个元素添加到 subsets_rest 的每一个子集中 */
append(subsets_rest, map(lambda([s], cons(first_element, s)), subsets_rest))
);
my_set : [1,2,3,a,b,c,d];
all_subsets : subsets(my_set);
len:length(my_set);
array(evlt, len);
for i : 0 thru len do
evlt[i]:[];
block(
for elem in all_subsets do (
ele_len:length(elem),
evlt[ele_len]:endcons(elem,evlt[ele_len])
)
);
for i : 0 thru len do
print(evlt[i][1],":",evlt[i]);
- 矩阵的相似关系
对于线性代数中的方阵 A A A和 B B B，如果存在一个可逆矩阵 P P P，使得 B = P − 1 A P B = P^{-1}AP B=P−1AP，则称 A A A与 B B B相似，这是一种等价关系。这个等价关系将方阵划分为“相似矩阵”的等价类。
等价类 (Equivalence Class)
等价关系 ∼ \sim ∼将一个集合 X X X分为若干个互不相交的子集，这些子集称为等价类。每个等价类由在该等价关系下相互等价的元素组成。
如果 a a a是集合 X X X中的某个元素，则包含 a a a的等价类表示为：
[ a ] = { x ∈ X ∣ x ∼ a } [a] = \{ x \in X \mid x \sim a \} [a]={x∈X∣x∼a}
等价类具有以下特点：
- 等价类的分割性：每个元素属于唯一的等价类。
- 等价类的覆盖性：所有等价类的并集等于集合 X X X。
等价关系和等价类是数学中非常重要的概念，尤其在抽象代数、拓扑学等领域，为我们提供了一种对对象进行分类的方法。
- 模32的等价类,集合为[0,512]的所有整数。
kill(all)$
declare([a,b,c,n], integer)$
n:32$
equivalent(x,y,n):=equal(mod(x,n),mod(y,n));
array(evlt,n-1);
for k : 0 thru n-1 do(
evlt[k]:[]
);
for i:0 thru 511 do(
for j : 0 thru n-1 do(
if is(equivalent(i,j,n)) then evlt[j]:endcons(i, evlt[j])
)
);
for k : 0 thru n-1 do(
print([k],":",evlt[k])
);
等价关系的原理
等价关系的原理基于三个基本性质（自反性、对称性和传递性），使其在集合划分和分类中起到重要作用。等价关系能将一个集合分割为互不相交的等价类，每个等价类中的元素在等价关系下相等。以下是等价关系的基本原理和相关公式：
1. 等价关系的基本原理
等价关系是一种二元关系，将集合 X X X的元素对进行分类。假设在集合 X X X上定义了一个等价关系 ∼ \sim ∼，则：
- 自反性：对所有 a ∈ X a \in X a∈X，总有 a ∼ a a \sim a a∼a。
- 对称性：对所有 a , b ∈ X a, b \in X a,b∈X，如果 a ∼ b a \sim b a∼b，那么 b ∼ a b \sim a b∼a。
- 传递性：对所有 a , b , c ∈ X a, b, c \in X a,b,c∈X，如果 a ∼ b a \sim b a∼b且 b ∼ c b \sim c b∼c，那么 a ∼ c a \sim c a∼c。
满足这三个条件的关系 ∼ \sim ∼被称为等价关系。通过该等价关系，可以将集合 X X X划分为互不相交的等价类。
2. 等价类的定义
对于集合 X X X中的元素 a a a，以 a a a为代表的等价类定义为：
[ a ] = { x ∈ X ∣ x ∼ a } [a] = \{ x \in X \mid x \sim a \} [a]={x∈X∣x∼a}
即等价类 [ a ] [a] [a]包含所有与 a a a等价的元素。
等价类有以下性质：
- 唯一性：对于集合 X X X中的任意两个元素 a a a和 b b b，若 [ a ] ∩ [ b ] ≠ ∅ [a] \cap [b] \neq \emptyset [a]∩[b]=∅，则 [ a ] = [ b ] [a] = [b] [a]=[b]。也就是说，不同的等价类互不重叠。
- 完备性：所有等价类的并集就是集合 X X X本身，即 X = ⋃ a ∈ X [ a ] X = \bigcup_{a \in X} [a] X=⋃a∈X[a]。
3. 商集的定义与公式
等价关系的另一个重要概念是商集，表示为 X / ∼ X / \sim X/∼，表示集合 X X X中所有等价类的集合：
X / ∼ = { [ a ] ∣ a ∈ X } X / \sim = \{ [a] \mid a \in X \} X/∼={[a]∣a∈X}
商集中的每个元素都是一个等价类。通过商集的概念，可以将复杂的集合结构简化为代表性的等价类集合。
4. 等价关系的应用公式
在某些数学结构中，可以用公式来定义具体的等价关系。例如：
-
模 n n n的同余等价关系：
对于整数集合 Z \mathbb{Z} Z和正整数 n n n，定义等价关系 a ∼ b ⟺ a ≡ b ( m o d n ) a \sim b \iff a \equiv b \pmod{n} a∼b⟺a≡b(modn)。- 若 a ≡ b ( m o d n ) a \equiv b \pmod{n} a≡b(modn)，则 a a a和 b b b属于同一个等价类，记作 [ a ] n [a]_n [a]n。
- 等价类公式：
[ a ] n = { x ∈ Z ∣ x ≡ a ( m o d n ) } [a]_n = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \pmod{n} \} [a]n={x∈Z∣x≡a(modn)}
-
几何中的相似三角形等价关系：
对于平面几何中的三角形 △ A B C \triangle ABC △ABC和 △ D E F \triangle DEF △DEF，定义等价关系 △ A B C ∼ △ D E F \triangle ABC \sim \triangle DEF △ABC∼△DEF当且仅当它们的对应角相等且对应边成比例。 -
集合的元素个数等价关系：
对于集合 S = { A ∣ A ⊂ X } S = \{ A \mid A \subset X \} S={A∣A⊂X}，可以定义一个等价关系 A ∼ B A \sim B A∼B若 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A| = |B| ∣A∣=∣B∣（即集合 A A A和 B B B元素个数相同），则 A A A和 B B B在此等价关系下属于同一个等价类。
5. 等价关系的代数性质公式
在抽象代数中，等价关系常用于构造商结构。例如，在群 G G G上定义的等价关系可以形成商群 G / N G/N G/N：
G / N = { g N ∣ g ∈ G } G/N = \{ gN \mid g \in G \} G/N={gN∣g∈G}
其中 g N gN gN表示包含 g g g的等价类（即陪集），满足：
- 若 g 1 , g 2 ∈ G g_1, g_2 \in G g1,g2∈G并且 g 1 ∼ g 2 g_1 \sim g_2 g1∼g2，则 g 1 N = g 2 N g_1N = g_2N g1N=g2N。
- 商群 G / N G/N G/N的每个元素是一个陪集，且 G / N G/N G/N中的等价类组成了一个新的群结构。
等价关系在集合划分和代数结构构造中是基础性工具，其原理和公式帮助我们将复杂问题分解为等价类来解决。
参考文献
- chatgpt