【异或运算】codeforces 1153 B. Dima and a Bad XOR

前言

异或运算：是一种在二进制数系统中使用的逻辑运算。它的基本规则是对两个二进制位进行比较，如果这两个位不同，则结果为 \(1\)；如果相同，则结果为 \(0\)。

异或运算的规则

• \(0\) XOR \(0\) = \(0\)
• \(0\) XOR \(1\) = \(1\)
• \(1\) XOR \(0\) = \(1\)
• \(1\) XOR \(1\) = \(0\)

特性

1. 自反性：任何数与自身进行异或运算的结果均为 \(0\)
2. 零和性：任何数与 \(0\) 进行异或运算都是其本身
3. 交换律：异或运算符合交换律，即 \(a\) XOR \(b\) = \(b\) XOR \(a\)
4. 结合律：异或运算符合结合律，即 (\(a\) XOR \(b\)) XOR \(c\) = \(a\) XOR (\(b\) XOR \(c\))

题意

https://codeforces.com/problemset/problem/1151/B

输入一个 \(n \times m(1 \leq n, m \leq 500)\) 的矩阵 \(a(0 \leq a_{i,j} \leq 1023)\)。

若你能在每一行找出一个数，并且使得这些数异或的结果严格大于 \(0\)，则输出 \(TAK\)，并在下一行输出每一行选择的列号；否则输出 \(NIE\)。

题解

要使得 \(n\) 个数的异或值严格大于 \(0\)，那么只需要使得其中一个二进制位的异或结果不为 \(0\)即可。
根据异或运算的特性，易知同一个二进制位上 \(1\) 的个数若为奇数，那么该位最后的计算结果必定为 \(1\)。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
using namespace std;

constexpr int N = 507;
int n, m;
int a[N][N];
vector<int> zero[N][10], one[N][10];

int main() {
	IOS
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) for (int j = 1; j <= m; ++ j) cin >> a[i][j];
	//只要让某一位的异或不为0，结果就必定不为0
	for (int i = 0; i < 10; ++ i) {
		int p = 0, q = 0;
		for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
			for (int k = 1; k <= m; ++ k) {
				if (a[j][k] >> i & 1) one[j][i].emplace_back(k);
				else zero[j][i].emplace_back(k);
			}
			if (one[j][i].size() == 0) p ++;
			else if (one[j][i].size() == m) q ++;
		}
		int r = n - p - q;
		if ((q & 1) || r > 0) {
			cout << "TAK\n";
			bool flag = q & 1 ? false : true;
			for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
				int sz = one[j][i].size();
				if (sz == 0 || sz == m) cout << "1 ";
				else if (flag) {
					cout << one[j][i].front() << ' ';
					flag = false;
				} else cout << zero[j][i].front() << ' ';
			}
			return 0;
		}
	} 
	cout << "NIE\n";
	return 0;
}