经典做市策略之 Avellaneda&Stoikov （一）

做市的基本概念

在一些活跃标的资产的交易活动中，普通的散户类投资者可以轻松地通过提交市价单、直接买卖目标标的资产或者标的资产的衍生品及其相关资产来直接参与市场交易。这样的市场中因为存在较多的投资者，所以资产流动性好。投资者更有可能在自己理想的合理价值也可以在市场交易中逐渐被发现，从而使标的资产的价值得到充分体现，同时增强了市场的有效性。一方面推动了标的资产的价格发现，另一方面促进了市场资金的有效分配，通过市场的有效性也直接吸引了投资者的有效参与，为市场注入活力。但在一些不活跃的交易资产上，由于缺乏足够的交易者，投资者难以实现这些资产的公允价值交易，也难找到合适的对手方。这降低了市场的有效性。此时，做市商的作用凸显，他们为市场提供合适的交易活动，增加市场的流动性。

做市策略与低延迟交易策略的关系如图：

在高频交易策略中，做市策略又称为市场制造策略，是一种提高市场流动性的关键策略类型。它指的是做市商（或流动性提供者）同时发布买入和卖出报价，以从市场中的买卖价差中获得利润。这种策略在市场中非常重要，既可以由那些被交易所指定为做市商并具有做市义务的机构执行，也可以由其他机构资源提供流动性来获利。一般来讲，大多数低延迟交易机构没有承担做市义务。

做市商通过同时双向报价，利用成交价格在买卖价差间小幅高频波动来获利。低延迟做市策略的盈利来源是价格小波动的高频率官话，因此必须快速挂单以跟踪市场价格变动。尽管做市商希望他们的双向报价都能立刻成交，但并不总是如此，因为价格匹配需要时间。在市场行情出现明显大幅单边波动时，做市策略很可能由于逆向选择（Adverse Selection）。只有与市场趋势相反的报单更有可能成交，从而导致单边净头寸积累而造成巨大的库存风险，从而产生大幅度亏损。

所以一个优秀的做市策略的核心在于如何解决库存风险，如何根据标的资产的市场状态（流动性、波动率等）进一步地确定最优的买卖报单价格。

做市策略的收益来源

这种买卖价差是如何形成的？根据Harold Demsetz在1968年的有关纽约股市交易成本的研究，做市商买卖报价差的形成机制被首次提出并定义：投资者对资产供求的不平衡会导致价差产生，”买卖报价价差是有组织的市场为交易的及时性（immediacy）支付的加成“。做市策略通常在双边报价，通过成交价格在价差间的小幅高频波动来获利，而这里的幅度一般只有交易所最小出价价差的1~2倍，而不是单一方向大的趋势性变化。根据市场有效理论，股票价格在市场有效的状态下呈现为”随机漫步“，价格的走势有着不可预测的性质，然而长期跟踪研究发现，价格的长期走势具有”均值回归（Mean Reversion）“的特点。均值回归在理论上具有必然性，价格走势不可能只升不降或者只降不升，价格保持正收益率或负收益率成为均值回避（Mean-aversion）。在均值回归理论中，均值回避的现象是暂时的，均值回归是必然的。资产价格偏离其内在价值的程度影响均值回归周期的长短。Chakraborty和Kearn（2011）通过推导理论和公式，进一步阐明了做市策略的绝对收益。假设所有的市场事件都在离散的时间点位置0，1，2，…，时刻 T T T 发生，并且在收盘时刻 T T T ,做市策略必须平掉所有单方向净头寸。研究表明做市策略的理论收益为 1 2 ( K − Z 2 ) \frac{1}{2}(K-Z^2) 21​(K−Z2) 。其中 K = ∑ t = 1 T ∣ P t + 1 − P t ∣ K=\sum_{t=1}^T|P_{t+1}-P_t| K=∑t=1T​∣Pt+1​−Pt​∣表示价格波动的绝对幅度， Z = P T − P 0 Z=P_T-P_0 Z=PT​−P0​表示收盘后平掉净头寸产生的净盈亏此研究也进一步证明在均值回归的条件下，该理论收益的期望为正,即在均值回归的假设下,做市策略确实可以产生绝对收益。根据这个理论收益公式，对于做市商来讲，一方面捕捉价格的窄幅波动非常重要，另一方面采取清仓操作以减少库存风险会对其绝对收益产生一定的减少效果。

接下来介绍一下经典做市策略 AS 模型。

经典做市策略 AS 模型

Avellaneda 和 Stoikov（20087）在引入库存风险考量的基础上建立了高频做市的 AS 模型。AS 模型的理论基础源于 Ho 和 Stoll（1980；1981）这两篇文章的研究结论，前者分析了在竞争环境中，做市商的报价与所有代理商的无差别报价相关，而后者则研究了一个做市商在考虑了库存风险的前提下，单项标的资产报价中的最优决策，即在资产的”真实价格“两侧创建最优买卖订单。AS 模型在此基础上，研究了市场中单个做市商的最优决策行为，并用市场中间价代表所谓的”真实价格“。模型的建立主要分为两个步骤：首先，做市商在给定库存和风险偏好下，计算出自身对资产的无差异估值，即中间价格；其次，根据报价单与中间价之间的距离推算报价单被执行的概率，在此基础上结合市场环境和做市商的风险承受能力建立效用函数，推导出做市商的最优报价。

模型推导

做市商对于标的资产的无差异估值由下式给出：

d S t = σ × d W t dS_t=\sigma\times dW_t dSt​=σ×dWt​

中间价格的初始值 S 0 = s S_0=s S0​=s ,上式中 W t W_t Wt​ 表示一维标准布朗运动。

做市商的目标是为了在时间 T T T 实现收益最大化，为了研究做市商的效用函数，Avellaneda 和 Stoikov 首先以不活跃的交易者为例考察了做市商的效用函数。

不活跃的交易者指的是尚未提交报价任何报价单，在投资期间标的资产上有一定的持仓的投资者。假设该交易者原来持有现金作为其库存时，该投资者的效用函数使用凸函数度量风险，此时交易者的效用函数如下式所示。
u ( x , s , q , t ) = E [ − exp ⁡ ( − γ ( x + q × S T ) ) ] u(x,s,q,t)=E[-\exp(-\gamma(x+q\times S_T))] u(x,s,q,t)=E[−exp(−γ(x+q×ST​))]

u ( x , s , q , t ) = − exp ⁡ ( − γ ( x + q × s ) ) × exp ⁡ γ 2 × q 2 × σ 2 ( T − t ) 2 u(x,s,q,t)=-\exp(-\gamma(x+q\times s))\times\exp\frac{\gamma^2\times q^2\times\sigma^2(T-t)}{2} u(x,s,q,t)=−exp(−γ(x+q×s))×exp2γ2×q2×σ2(T−t)​

对于不活跃的交易者，当以 r b r^b rb 的价格买入一单位标的资产，成交后该交易者持有现金 x − r b x-r^b x−rb,库存增加一单位，若此交易行为对该交易者的效用不产生影响，则 r b r^b rb 表示该交易者的无差异买价（Reservation Bid Price），即 r b r^b rb 应当满足
u ( x − r b , s , q + 1 , t ) = u ( x , s , q , t ) u(x-r^b,s,q+1,t)=u(x,s,q,t) u(x−rb,s,q+1,t)=u(x,s,q,t)

通过同样的方式也可以建立无差异卖价（Reservation Ask Price） r b r^b rb 的等量关系式，解得
r a ( s , q , t ) = s + ( 1 − 2 q ) γ σ 2 ( T − t ) 2 r^a(s,q,t)=s+(1-2q)\frac{\gamma\sigma^2(T-t)}{2} ra(s,q,t)=s+(1−2q)2γσ2(T−t)​
r v ( s , q , t ) = s + ( − 1 − 2 q ) γ σ 2 ( T − t ) 2 r^v(s,q,t)=s+(-1-2q)\frac{\gamma\sigma^2(T-t)}{2} rv(s,q,t)=s+(−1−2q)2γσ2(T−t)​
r ( s , q , t ) = s − q γ σ 2 ( T − t ) r(s,q,t)=s-q\gamma\sigma^2(T-t) r(s,q,t)=s−qγσ2(T−t)

其中 r ( s , q , t ) r(s,q,t) r(s,q,t)表示买卖价的均价。

上述讨论是针对有限的投资期间 T − t T-t T−t 展开的，若从无限的时间长度来讨论，则该投资者的效用函数为
u ( x , s , q ) = E [ ∫ 0 ∞ u ( x , s , q , t ) d t ] u(x,s,q)=E[\int_0^\infty u(x,s,q,t)dt] u(x,s,q)=E[∫0∞​u(x,s,q,t)dt]

使用换元法，可以写成
ω = γ 2 q 2 q 2 2 \omega=\frac{\gamma^2q^2q^2}{2} ω=2γ2q2q2​
⇒ u ( x , s , q ) = E [ ∫ 0 ∞ − exp ⁡ ( − ω t ) d t ] \Rightarrow u(x,s,q)=E[\int_0^\infty-\exp(-\omega t)dt] ⇒u(x,s,q)=E[∫0∞​−exp(−ωt)dt]

其中， ω \omega ω将决定投资者允许持有库存量的上界，一般设定为

KaTeX parse error: Got function '\max' with no arguments as subscript at position 38: …ma^2\sigma^2(q_\̲m̲a̲x̲+1)^2

相信大家已经蠢蠢欲动了，先别急，后续内容中，我们来解决构建限价单的问题。