RC低通滤波器
我们使得R=1K，C=1uF；电容C的阻抗为Xc；
传递函数
H
(
s
)
=
u
o
u
i
=
X
C
X
C
+
R
=
1
s
C
1
s
C
+
R
=
=
1
1
+
s
R
C
（其中
s
=
j
ω
）
H(s)=\frac{u_{o} }{u_{i} } =\frac{X_{C} }{X_{C}+R} =\frac{\frac{1}{sC} }{\frac{1}{sC}+R} ==\frac{1 }{1+sRC}（其中s=j\omega ）
H(s)=uiuo=XC+RXC=sC1+RsC1==1+sRC1（其中s=jω）
将传递函数进一步整理可得：
H
=
1
−
j
ω
R
C
1
+
(
ω
R
C
)
2
H=\frac{1-j\omega RC}{1+\left ( \omega RC \right ) ^{2} }
H=1+(ωRC)21−jωRC
由上式可得出传递函数的实部和虚部：
r
e
a
l
=
1
1
+
(
ω
R
C
)
2
i
m
a
g
e
=
−
ω
R
C
1
+
(
ω
R
C
)
2
\begin{matrix}real=\frac{1}{1+\left ( \omega RC \right ) ^{2} } \\image=\frac{-\omega RC}{1+\left ( \omega RC \right ) ^{2} } \end{matrix}
real=1+(ωRC)21image=1+(ωRC)2−ωRC
进一步求出幅值和相位表达式：
幅值
=
r
e
a
l
2
+
i
m
a
g
e
2
=
1
1
+
ω
R
C
2
相位
=
a
r
c
t
a
n
(
i
m
a
g
e
r
e
a
l
)
=
a
r
c
t
a
n
(
−
ω
R
C
)
(
其中
ω
=
2
π
f
)
\begin{matrix}幅值=\sqrt{real^{2}+image^{2} } =\sqrt{\frac{1}{1+ \omega RC^{2} } } \\相位=arctan\left (\frac{image}{real} \right ) =arctan\left (- \omega RC \right ) \\(其中 \omega =2\pi f) \end{matrix}
幅值=real2+image2
=1+ωRC21
相位=arctan(realimage)=arctan(−ωRC)(其中ω=2πf)
截止频率
f
r
=
1
2
π
R
C
f_{r}=\frac{1}{2\pi RC}
fr=2πRC1
有关截止频率的计算可以看之前的文章：https://editor.csdn.net/md/?articleId=139279203
零点与极点
由传递函数可求出零点与极点：
H
(
s
)
=
u
o
u
i
=
X
C
X
C
+
R
=
1
s
C
1
s
C
+
R
=
=
1
1
+
s
R
C
（其中
s
=
j
ω
）
H(s)=\frac{u_{o} }{u_{i} } =\frac{X_{C} }{X_{C}+R} =\frac{\frac{1}{sC} }{\frac{1}{sC}+R} ==\frac{1 }{1+sRC}（其中s=j\omega ）
H(s)=uiuo=XC+RXC=sC1+RsC1==1+sRC1（其中s=jω）
零点：令传递函数的分子为0可求出零点，得此RC滤波器无零点；
极点：令传递函数的分子为0可求出极点，得
s
=
−
1
R
C
（注意单位问题，我们平常计算时需要计算出频率；如果计算出负值，需要取其绝对值）
s=-\frac{1 }{RC }（注意单位问题，我们平常计算时需要计算出频率；如果计算出负值，需要取其绝对值）
s=−RC1（注意单位问题，我们平常计算时需要计算出频率；如果计算出负值，需要取其绝对值）
Bode图绘制与分析
现在，我们使用matlab来画出这个RC滤波器的bode图，如下：
我们来进一步分析这个bode图：
- 在截止频率处f，=fr≈159.15Hz处，对应的幅值和相位计算如下： 幅值 = 1 1 + （ ω R C ） 2 = 1 1 + （ 2 π f r R C ） 2 = 2 2 （即 − 3 d B ） 相位 = a r c t a n ( − ω R C ) = a r c t a n ( − 2 π f r R C ) = a r c t a n ( − 1 ) = − 45 ° \begin{matrix} 幅值=\sqrt{\frac{1}{1+ （\omega RC）^{2} } } =\sqrt{\frac{1}{1+ （2\pi f_{r}RC）^{2} } } =\frac{\sqrt{2} }{2} （即-3dB） \\相位=arctan\left (- \omega RC \right ) =arctan\left (- 2\pi f_{r} RC \right )=arctan\left (-1 \right )=-45° \end{matrix} 幅值=1+（ωRC）21 =1+（2πfrRC）21 =22 （即−3dB）相位=arctan(−ωRC)=arctan(−2πfrRC)=arctan(−1)=−45°
- 在截止频率左侧，当f<<fr时，对应的幅值和相位计算如下： 幅值 = 1 1 + （ ω R C ） 2 = 1 1 + （ 2 π f R C ） 2 ≈ 1 （即 0 d B ） 相位 = a r c t a n ( − ω R C ) = a r c t a n ( − 2 π f R C ) ≈ a r c t a n ( 0 ) = 0 ° \begin{matrix} 幅值=\sqrt{\frac{1}{1+（ \omega RC）^{2} } } =\sqrt{\frac{1}{1+ （2\pi fRC）^{2} } } ≈1（即0dB） \\相位=arctan\left (- \omega RC \right ) =arctan\left (- 2\pi f RC \right ) ≈arctan\left (0 \right )=0° \end{matrix} 幅值=1+（ωRC）21 =1+（2πfRC）21 ≈1（即0dB）相位=arctan(−ωRC)=arctan(−2πfRC)≈arctan(0)=0°
- 在截止频率右侧，当f>>fr时，对应的幅值和相位计算如下： 幅值 = 1 1 + （ ω R C ） 2 = 1 1 + （ 2 π f R C ） 2 （随着频率增大幅值减小，斜率为 − 20 d B / 10 d e c ，即频率每增加 10 倍，幅值衰减 20 d B ） 相位 = a r c t a n ( − ω R C ) = a r c t a n ( − 2 π f R C ) ≈ a r c t a n ( − ∞ ) = − 90 ° \begin{matrix} 幅值=\sqrt{\frac{1}{1+ （\omega RC）^{2} } } =\sqrt{\frac{1}{1+ （2\pi fRC）^{2} } } \\（随着频率增大幅值减小，斜率为-20dB/10dec，即频率每增加10倍，幅值衰减20dB） \\相位=arctan\left (- \omega RC \right ) =arctan\left (- 2\pi f RC \right ) ≈arctan\left (-∞ \right )=-90° \end{matrix} 幅值=1+（ωRC）21 =1+（2πfRC）21 （随着频率增大幅值减小，斜率为−20dB/10dec，即频率每增加10倍，幅值衰减20dB）相位=arctan(−ωRC)=arctan(−2πfRC)≈arctan(−∞)=−90°
- 对于RC低通滤波器来说，其极点对应的频率与截止频率数值上相等，bode图上也可以看出，均为159.19Hz；
每增加一个极点，可以使得bode图的幅值变化-20dB/dec，相位变化-90°；
bode图上： 极点前后幅值由0dB/dec变为-20dB/dec，变化-20dB/dec；极点前后相位由0°变化为-90°，变化-90°；
matlab代码
R=1000;
C=1*10^(-6);
H=tf([1],[(R*C) 1]);
% 获取零极点
z = zero(H);
p = pole(H);
opts = bodeoptions;
opts.FreqUnits = 'Hz'; % 设置频率单位为Hz
bode(H, opts);
grid on
% 获取当前坐标轴
h = findobj(gcf, 'Type', 'axes');
% 设置增益图的横纵坐标显示值
set(h(1), 'XScale', 'log'); % 设置横坐标为对数刻度
set(h(1), 'XLim', [1,1000000]);
set(h(1), 'XTick', [1,10,100,1000,10000,100000,1000000]); % 设置横坐标刻度
set(h(1), 'YLim', [-80, 0]); % 设置纵坐标范围
set(h(1), 'YTick',[-80,-70,-60,-50,-40,-30,-20,-10,0]); % 设置纵坐标刻度
% 设置相位图的横纵坐标显示值
set(h(2), 'XScale', 'log'); % 设置横坐标为对数刻度
set(h(1), 'XLim', [1,1000000]);
set(h(2), 'XTick', [1,10,100,1000,10000,100000,1000000]); % 设置横坐标刻度
%set(h(2), 'YLim', [-90, 0]); % 设置纵坐标范围
set(h(2), 'YTick', [-90, -75, -60,-45,-30,-15,0]); % 设置纵坐标刻度
% 计算截止频率
%RC = 1 / abs(p); % 截止频率为极点的绝对值的倒数
cutoff_freq = 1 / (2 * pi * R*C); % 截止频率（Hz）
% 在增益图上标示零点和极点
for i = 1:length(h)
if i == 1 % 增益图
% 标示零点
for j = 1:length(z)
if ~isinf(z(j)) % 排除无穷大
hold on;
% 将零点从弧度转换为赫兹
freq_hz = real(z(j)) / (2 * pi);
plot([freq_hz, freq_hz], [-90, 0], 'r--'); % 画虚线
text(freq_hz, -90, sprintf('Zero: %.2f Hz', freq_hz), 'Color', 'r'); % 添加文本标注
end
end
% 标示极点
for j = 1:length(p)
if ~isinf(p(j)) % 排除无穷大
hold on;
% 计算频率
freq_hz = (p(j)) / (2 * pi); % 使用虚部计算频率
% 处理负频率
if freq_hz < 0
freq_hz_positive = -freq_hz; % 转换为正频率
else
freq_hz_positive = freq_hz; % 保持正频率
end
% 标示正频率
plot([freq_hz_positive, freq_hz_positive], [-100, 10], 'g--'); % 画虚线
text(freq_hz_positive, -80, sprintf('Pole: %.2f Hz', freq_hz_positive), 'Color', 'g'); % 添加文本标注
end
end
% 标示截止频率
%hold on;
%plot([cutoff_freq, cutoff_freq], [-90, 0], ':'); % 画截止频率虚线
%text(cutoff_freq, -70, sprintf('Cutoff: %.2f Hz', cutoff_freq), 'Color', 'b');
elseif i == 2 % 相位图
% 标示零点
for j = 1:length(z)
if ~isinf(z(j)) % 排除无穷大
hold on;
% 将零点从弧度转换为赫兹
freq_hz = real(z(j)) / (2 * pi);
plot([freq_hz, freq_hz], [-90, 0], 'r--'); % 画虚线
text(freq_hz, -90, sprintf('Zero: %.2f Hz', freq_hz), 'Color', 'r'); % 添加文本标注
end
end
% 标示极点
for j = 1:length(p)
if ~isinf(p(j)) % 排除无穷大
hold on;
% 计算频率
freq_hz = (p(j)) / (2 * pi); % 使用虚部计算频率
% 处理负频率
if freq_hz < 0
freq_hz_positive = -freq_hz; % 转换为正频率
else
freq_hz_positive = freq_hz; % 保持正频率
end
% 标示正频率
plot([freq_hz_positive, freq_hz_positive], [-100, 10], 'g--'); % 画虚线
text(freq_hz_positive, -80, sprintf('Pole: %.2f Hz', freq_hz_positive), 'Color', 'g'); % 添加文本标注
end
end
% 标示截止频率
hold on;
plot([cutoff_freq, cutoff_freq], [-90, 0], ':'); % 画截止频率虚线
text(cutoff_freq, -70, sprintf('Cutoff: %.2f Hz', cutoff_freq), 'Color', 'b');
end
end