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哈希函数的构造方法
哈希函数的构造方法
本文阐述了哈希函数的构造方法有很多，但应注意两个原则：第一，函数值应在1至记录总数之间；第二，尽可能避免冲突。
设要存放的数据元素有n个，存放数据元素的内存单元有m个，设计哈希函数的目标就是要使通过哈希函数得到的n个数据元素的哈希地址尽可能均匀地分布在m个连续内存单元上，同时使计算过程尽可能简单以达到尽可能高的时间效率。
引 言
构造哈希函数的方法很多。如何构造一个“好”的哈希函数是很强的技术性和实践性问题，这里的“好”指的是哈希函数构造比较简单，并且用此哈希函数产生的映射所发生的冲突可能性最小，换句话说一个好的哈希函数能将给定数据集合均匀地映射到给定的地址区间中。
Hash的原意是“弄乱，切碎”，这里的含义是“杂凑”。基本做法是，根据集合元素值的分布情况，设计一个哈希函数h(ki),存储之素ki时，计算ki的哈希函数值，元素ki存储在a(h)中。
如果“幸运”，所设计的哈希函数很均匀，即任何ki≠kj,都有h(ki)≠h(kj),那么在查找ki时（再计算ki的哈希函数函数值h）,就能在a[h]中找到元素ki。
1．直接定址法
直接定址法是以数据元素关键字k本身或它的线性函数作为它的哈希地址，即：H（k）=k 或 H（k）=a×k+b ； (其中a,b为常数)
例1，有一个人口统计表，记录了从1岁到100岁的人口数目，其中年龄作为关键字，哈希函数取关键字本身，如图(1)：
|
地址 |
A1 |
A2 |
…… |
A99 |
A100 |
|
年龄 |
1 |
2 |
…… |
99 |
100 |
|
人数 |
980 |
800 |
…… |
495 |
107 |
可以看到，当需要查找某一年龄的人数时，直接查找相应的项即可。如查找99岁的老人数，则直接读出第99项即可。这种哈希函数简单，并且对于不同的关键字不会产生冲突，但可以看出这是一种较为特殊的哈希函数，实际生活中，关键字的元素很少是连续的。用该方法产生的哈希表会造成空间大量的浪费，因此这种方法适应性并不强。[2]↑
2．数字分析法
2．1数字分析法是取数据元素关键字中某些取值较均匀的数字位作为哈希地址的方法。即当关键字的位数很多时，可以通过对关键字的各位进行分析，丢掉分布不均匀的位，作为哈希值。它只适合于所有关键字值已知的情况。通过分析分布情况把关键字取值区间转化为一个较小的关键字取值区间。
例2，要构造一个数据元素个数n=80,哈希长度m=100的哈希表。不失一般性，我们这里只给出其中8个关键字进行分析，8个关键字如下所示：
K1=61317602 K2=61326875 K3=62739628 K4=61343634
K5=62706815 K6=62774638 K7=61381262 K8=61394220
分析上述8个关键字可知，关键字从左到右的第1、2、3、6位取值比较集中，不宜作为哈希地址，剩余的第4、5、7、8位取值较均匀，可选取其中的两位作为哈希地址。设选取最后两位作为哈希地址，则这8个关键字的哈希地址分别为：2，75，28，34，15，38，62，20。[1]↑
2. 2设有n个d 位数，每一位可能有r种不同的符号，这r种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同，可能在某位上分布均匀些，每种符号出现的机会均等；在某位上分布不均匀，只有某几种符号经常出现。可根据哈希表的大小，选取其中各种符号分布均匀的若干位作为哈希地址。计算各位数字中符号分布均匀度rk的公式为：rk=其中，aki表示第i个符号k位上出现的的期望值。计算出rk值越小，
i=1
表明在该位（第k位）各种符号分布越不均匀。
例3，有一组关键字，对其各位编码如下：
9 2 1 4 8
9 1 2 6 9
9 0 5 2 7
9 1 6 3 0
9 1 8 0 5
9 1 5 5 8
9 2 0 4 7
9 0 0 0 1
① ② ③ ④ ⑤
①位仅“9”出现8次r1=(8-8/10)2*1+(0-8/10)2*9=57.60
②位“0，2”各出现2次，“1”出现4次r2=(2-8/10)2*2+(4-8/10)2*1+（0-8/10）2*7=17.60
③位“0，5”各出现2次，“1，2，6，8”各出现1次r3=(2-8/10)2*2+(1-8/10)2*4+（0-8/10）2*4=5.60
④位“0，4”各出现2次，“2，3，5，6”各出现1次
⑤位“7，8”各出现2次，“0，1，5，9”各出现1次
r3 =r4 =r5 =5.60
若哈希表地址范围有3位数字，取各关键字的③④⑤位作为记录的哈希地址。也可以把第①②和第⑤位想加，舍去进位，变成一位数，再与第③④位合起来哈希地址等。显然数字分析法仅适用于事先知道表中所有关键字每一位数值的分布情况，它完全依赖于关键字集合。如果换一个关键字集合，选择哪几位重新决定。
3．折叠法
所谓折叠法是将关键字分割成位数相同的几部分（最后一部分的位数可以不同），然后取这几部分的叠加和（舍去进位），这方法称为折叠法。这种方法适用于关键字位数较多，而且关键字中每一位上数字分布大致均匀的情况。
折叠法中数位折叠又分为移位叠加和边界叠加两种方法，移位叠加是将分割后是每一部分的最低位对齐，然后相加；边界叠加是从一端向另一端沿分割界来回折叠，然后对齐相加。
例4，当哈希表长为1000时，关键字key=110108331119891，允许的地址空间为三位十进制数，则这两种叠加情况如图（2）：
移位叠加 边界叠加
8 9 1 8 9 1
1 1 9 9 1 1
3 3 1 3 3 1
1 0 8 8 0 1
+ 1 1 0 + 1 1 0
(1) 5 5 9 (3)0 4 4
图（2）由折叠法求哈希地址
用移位叠加得到的哈希地址是559，而用边界叠加所得到的哈希地址是44。如果关键字不是数值而是字符串，则可先转化为数。转化的办法可以用ASCⅡ字符或字符的次序值。[3]↑
4．平方取中法
这是一种常用的哈希函数构造方法。这个方法是先取关键字的平方，然后根据可使用空间的大小，选取平方数是中间几位为哈希地址。
哈希函数 H(key)=“key2的中间几位”因为这种方法的原理是通过取平方扩大差别，平方值的中间几位和这个数的每一位都相关，则对不同的关键字得到的哈希函数值不易产生冲突，由此产生的哈希地址也较为均匀。
例5，若设哈希表长为1000则可取关键字平方值的中间三位，如图（3）所示：
|
关键字 |
关键字的平方 |
哈希函数值 |
|
1234 |
1522756 |
227 |
|
2143 |
4592449 |
924 |
|
4132 |
17073424 |
734 |
|
3214 |
10329796 |
297 |
图（3）平方取中哈希函数示例 [4] ↑
有人曾用“轮盘赌”的统计分析方法对它们进行了模拟分析，结论是平方取中法最接近“随机化”。
例6，设有一组关键字值为ABC，BCD，CDE，DEF其相应的机内码分别为010203，020304，030405，040506。假设可利用地址空间大小为103，平方后取平方数的中间三位作为相当记录的存储地址。如图（4）所示：
|
关键字 |
机内码 |
机内码的平方 |
哈希地址 |
|
ABC |
010203 |
0104101209 |
101 |
|
BCD |
020304 |
0412252416 |
252 |
|
CDE |
030405 |
0924464025 |
464 |
|
DEF |
040506 |
1640736036 |
736 |
图（4）平方取中法关键字及其存储地址[6]↑
下面给出平方取中法的哈希函数
//平方取中法哈希函数，结设关键字值32位的整数
//哈希函数将返回key * key的中间10位
Int Hash (int key)
{
//计算key的平方
Key * = key ;
//去掉低11位
Key>>=11;
// 返回低10位（即key * key的中间10位）
Return key %1024;
}
5.减去法
减去法是数据的键值减去一个特定的数值以求得数据存储的位置。
例7，公司有一百个员工，而员工的编号介于1001到1100，减去法就是员工编号减去1000后即为数据的位置。编号1001员工的数据在数据中的第一笔。编号1002员工的数据在数据中的第二笔…依次类推。从而获得有关员工的所有信息，因为编号1000以前并没有数据，所有员工编号都从1001开始编号。
6.基数转换法
将十进制数X看作其他进制，比如十三进制，再按照十三进制数转换成十进制数，提取其中若干为作为X的哈希值。一般取大于原来基数的数作为转换的基数，并且两个基数应该是互素的。
例8，Hash(80127429)=(80127429)13=8*137+0*136+1*135+2*134+7*133+4*132+2*131+9=(502432641)10如果取中间三位作为哈希值，得Hash（80127429）=432
为了获得良好的哈希函数，可以将几种方法联合起来使用，比如先变基，再折叠或平方取中等等，只要散列均匀，就可以随意拼凑。[5] ↑
7.除留余数法
取关键字被某个不大于哈希表表长m的数p除后所得余数为哈希地址，即设定哈希函数为 Hash(key)=key mod p (p≤m)，其中，除数p称作模。
除留余数法不仅可以对关键字直接取模，也可以在折叠、平方取中等运算后取模。对于除留余数法求哈希地址，关键在于模p的选择。使得数据元素集合中每一个关键字通过该哈希函数映射到内存单元的任意地址上的概率相等，从而尽可能减少发生哈希冲突的可能性。
理论研究表明，除留余数法的模p取不大于表长且最接近表长m素数时效果最好，且p最好取1.1n～1.7n之间的一个素数（n为存在的数据元素个数）。例如：当n=7时，p最好取11、13等素数。 又例图(5)：
|
表长m |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
1000 |
|
模p |
7 |
13 |
31 |
61 |
127 |
251 |
503 |
997 |
由于除留余数法的地址计算方法简单，而且在许多情况下效果较好。[2]↑
例9，公司有236个员工，而员工编号介于1000到9999，除留余数法就是员工编号除以数据个数236后，去余数即为数据的位置。编号5428员工的数据（编号5428除以236取余数得0）放数据中的第一笔，编号3512员工数据（编号3512除以236取余数得8）放数据中的第九笔…依次类推。
8．随机乘数法
亦称为“乘余取整法”。随机乘数法使用一个随机实数f,0≤f<1,乘积f*k的分数部分在0～1之间，用这个分数部分的值与n（哈希表的长度）相乘，乘积的整数部分就是对应的哈希值，显然这个哈希值落在0～n-1之间。其表达公式为：Hash(k)=「n*(f*k%1)」其中“f*k%1”表示f*k 的小数部分，即f*k%1=f*k-「f*k」[5] ↑
例10，对下列关键字值集合采用随机乘数法计算哈希值，随机数f=0.103149002 哈希表长度n=100得图(6)：
|
k |
f*k |
n*((f*k)的小数部分) |
Hash(k) |
|
319426 |
32948.47311 |
47.78411 |
47 |
|
718309 |
74092.85648 |
86.50448 |
86 |
|
629443 |
64926.41727 |
42.14427 |
42 |
|
919697 |
84865.82769 |
83.59669 |
83 |
此方法的优点是对n的选择不很关键。通常若地址空间为p位就是选n=2p.Knuth对常数f的取法做了仔细的研究，他认为f取任何值都可以，但某些值效果更好。如f=（-1）/2=0.6180329...比较理想。[8] ↑
9．字符串数值哈希法
在很都情况下关键字是字符串，因此这样对字符串设计Hash函数是一个需要讨论的问题。下列函数是取字符串前10个字符来设计的哈希函数
Int Hash _ char (char *X)
{
int I ,sum
i=0;
while (i 10 && X[i])
Sum +=X[i++];
sum%=N; //N是记录的条数
}
这种函数把字符串的前10个字符的ASCⅡ值之和对N取摸作为Hash地址，只要N较小，Hash地址将较均匀分布[0，N]区间内，因此这个函数还是可用的。对于N很大的情形，可使用下列函数
int ELFhash (char *key )
{
Unsigned long h=0,g;
whie (*key)
{
h=(h<<4)+ *key;
key++;
g=h & 0 xF0000000L;
if (g) h^=g>>24;
h & =～g;
}
h=h % N
return （h）;
}
这个函数称为ELFHash(Exextable and Linking Format ,ELF,可执行链接格式)函数。它把一个字符串的绝对长度作为输入，并通过一种方式把字符的十进制值结合起来，对长字符串和短字符串都有效，这种方式产生的位置不可能不均匀分布。[7] ↑
10.旋转法
旋转法是将数据的键值中进行旋转。旋转法通常并不直接使用在哈希函数上，而是搭配其他哈希函数使用。
例11，某学校同一个系的新生（小于100人）的学号前5位数是相同的，只有最后2位数不同，我们将最后一位数，旋转放置到第一位，其余的往右移。
|
新生学号 |
旋转过程 |
旋转后的新键值 |
|
5062101 |
5062101 |
1506210 |
|
5062102 |
5062102 |
2506210 |
|
5062103 |
5062103 |
3506210 |
|
5062104 |
5062104 |
4506210 |
|
5062105 |
5062105 |
5506210 |
如图(7)
运用这种方法可以只输入一个数值从而快速地查到有关学生的信息。[9] ↑
11.伪随机数法
伪随机数法是将利用数据的键值经过随机数法的运算后的结果作为数据存储的位置。其公式如下（a和c为质数）：
Y=（a * Key + c）mod 数组的大小
例12，某公司的某女员工的编号是321547，现该公司共有107个女职工，我们取a=13,c=5则
Y=(13*321547+5)%107
=(4180111+5)%107
=54
则取54当作该员工数据存储的位置。[10] ↑
小 结
有许多种不同的哈希函数设计方法，这里主要讨论几种常用的不同类型关键字的希函数设计方法：直接定址法、数字分析法、折叠法、平方取中法、减去法、基数转换法、除留余数法、随机乘数法、字符串数值哈希法、伪随机数法、旋转法。
尽管哈希函数的构造方法有很多，但不同的方法适用于不同的情况。如：当键字是字符串时可以用字符串数值哈希法构造哈希函数；当关键字是整数类型时就可以用除留余数法、直接定址法和数字分析法等设计哈希函数；而关键字是小数类型常用伪随机数法来构造哈希函数等。
参 考 文 献
[1]朱战立编著.数据结构（C++语言描述） 北京：高等教育出版社，2004
[2]陈明编著.实用数据结构基础 北京：清华大学出版社，2002
[3]严蔚敏等编著.数据结构及应用算法教程 北京：清华大学出版社，2000
[4]殷人昆等编著.数据结构：面向对象方法与C++描述 北京：清华大学出版社，1999
[5]熊岳山等编著.数据结构：C++语言描述， 长沙：国防科技大学出版社，2002.2
[6]苏光奎等编著. 数据结构导学。 北京：清华大学出版社，2002
[7]陈松乔等编著.算法与数据结构（C与C++描述） 北京：北方交通大学出版社 2002.8
[8]卓滋德克著.陈曙晖译 数据结构与算法——C++ 北京：清华大学出版社， 2003
[9]王庆瑞编著.数据结构教程（C++语言描述） 北京：高等教育出版社，2002.8
[10]黄国瑜等编著.数据结构（Java语言版） 北京：清华大学出版社，2002
转自http://wenku.baidu.com/view/61b121c06137ee06eff918c1.html
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