联立方程模型（Simultaneous Equations Model, SEM）是一类包含多个相互依赖变量的统计模型，用来描述这些变量之间的相互关系。在传统的单一方程模型中，通常假设某个因变量仅仅受到若干自变量的影响，而这些自变量是外生的。然而，在现实经济中，变量之间往往是相互影响的，比如收入和消费。联立方程模型正是为了解决这种变量间的相互依存关系而提出的。联立方程模型在经济学、金融学、社会学等领域应用广泛，特别适用于描述复杂系统中多个变量之间的相互作用关系。接下来，我们将首先介绍联立方程模型的基本概念及其识别问题，然后以简单凯恩斯主义模型为例进行深入分析。
一、联立方程模型
1.1 联立方程模型的定义
联立方程模型由多个方程构成，其中每个方程包含一个或多个内生变量（endogenous variables）和外生变量（exogenous variables）。内生变量是模型中被解释的变量，而外生变量则是由外部因素决定，不受模型内部变量的影响。联立方程模型的主要目标是同时解释多个内生变量的变化。
基本形式可以表示为：
\[Y_1 = \alpha_{11} X_1 + \alpha_{12} X_2 + \cdots + \beta_{11} Z_1 + \epsilon_1 \]\[Y_2 = \alpha_{21} X_1 + \alpha_{22} X_2 + \cdots + \beta_{12} Z_2 + \epsilon_2 \]\[\vdots \]\[Y_n = \alpha_{n1} X_1 + \alpha_{n2} X_2 + \cdots + \beta_{n1} Z_n + \epsilon_n \]其中：
- $ Y_1, Y_2, \ldots, Y_n $ 是内生变量，表示模型中需要解释的变量；
- $ X_1, X_2, \ldots $ 是外生变量，由模型外部决定；
- $ \epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_n $ 是随机误差项，表示模型中未被解释的部分。
1.2 联立方程的特点
联立方程模型与一般的单方程回归模型相比，有一个显著的特点：内生变量在不同方程中同时出现。例如，在一个宏观经济模型中，收入不仅是一个方程中的因变量，它还可能在另一个方程中作为自变量出现。因此，所有内生变量在不同的方程中相互影响，并且无法单独使用单方程回归来分析这种相互关系。
1.3 识别问题与解法
联立方程模型面临的一个重要问题是识别问题（identification problem）。识别问题是指，如何从观测到的数据中唯一地估计模型中的参数。模型的识别问题涉及到方程的结构：我们需要知道在多大程度上可以从可观测变量中唯一确定模型参数。
解决识别问题通常依赖以下条件：
- 阶条件（Order Condition）：用于判定每一个方程是否可以被识别。阶条件要求，某个方程中的外生变量数量必须大于内生变量数量，以便方程能够被唯一识别。
- 秩条件（Rank Condition）：用矩阵形式描述方程系统的特性，用于保证方程系统的数学结构适合估计。
1.4 简单凯恩斯模型：联立方程模型的一个经典案例
凯恩斯主义经济学模型是联立方程模型的经典应用之一。凯恩斯模型解释了在短期内，经济如何通过消费、投资和政府支出实现总需求的变化，进而影响总产出。
模型构建
简单凯恩斯模型由三个基本方程构成，分别是消费函数、投资函数和国民收入恒等式。每个方程描述一个不同的经济活动，它们共同决定国民收入、消费和投资的水平。
-
消费函数（Consumption Function）：
\[C = C_0 + cY \]其中，$ C $ 代表总消费，$ C_0 $ 是自主消费，表示无论收入水平如何，人们都进行的基本消费；$ c $ 是边际消费倾向，表示每增加一单位收入，人们愿意增加多少消费；$ Y $ 是总收入。
-
投资函数（Investment Function）：
\[I = I_0 \]其中，$ I $ 是总投资，$ I_0 $ 是自主投资，假设投资不受收入影响。
-
国民收入恒等式（National Income Identity）：
\[Y = C + I \]该方程表明总收入 $ Y $ 由消费和投资之和构成，这是国民经济的基本恒等式。
模型的联立形式
将这三个方程联立起来，可以得到以下系统：
\[ C = C_0 + cY\\ I = I_0 \\ Y = C + I \]这个模型中，$ C \(、\) I $ 和 $ Y $ 是内生变量，而 $ C_0 \(、\) I_0 $ 和 $ c $ 是外生参数。模型描述了收入、消费和投资如何通过相互作用达到均衡。
模型的求解
我们可以通过代入法求解这个联立方程系统。首先，将消费函数代入国民收入恒等式：
\[Y = (C_0 + cY) + I_0 \]整理得到：
\[Y = \frac{C_0 + I_0}{1 - c} \]这个方程给出了均衡国民收入的表达式。它表明，国民收入由自主消费、自主投资和边际消费倾向共同决定。该公式中的 $ \frac{1}{1 - c} $ 称为凯恩斯乘数，它描述了收入随着投资或消费变化的放大效应。
从凯恩斯模型可以看出，短期内经济是由需求拉动的。通过增加自主投资 $ I_0 $ 或增加自主消费 $ C_0 $，可以直接推动经济增长。而边际消费倾向 $ c $ 决定了消费变化对国民收入的影响程度。当 $ c $ 较大时，国民收入的增加会带来更大幅度的消费增长，反之亦然。
凯恩斯认为，在短期内，政府通过增加支出（例如基础设施投资）可以有效提高总需求，从而拉动经济增长。这一政策主张在经济衰退时期显得尤为重要，因为当私人部门需求不足时，政府可以通过增加支出来弥补需求缺口。
1.5 联立方程模型的实际应用
联立方程模型在以下几个领域得到了广泛应用：
宏观经济模型。凯恩斯模型是宏观经济学中联立方程模型的经典应用。此外，IS-LM模型、AS-AD模型等也都是联立方程模型的典型代表。这些模型通过多个方程同时分析利率、产出、价格和货币供给等宏观经济变量的相互关系。
金融市场分析。在金融市场中，资产价格、利率和货币供给等变量之间存在相互依赖的关系。例如，股市价格可能受到利率和投资者预期的影响，同时又会反过来影响投资者的行为。这类复杂的相互作用可以通过联立方程模型来分析。
供需模型。供需模型是一种典型的联立方程模型。在供需模型中，价格和数量是内生变量，供给函数和需求函数分别描述了供给方和需求方的行为。通过联立方程，我们可以确定市场均衡价格和数量。
二、联立方程模型的估计
联立方程模型的估计和分析方法比一般单方程模型复杂得多，因为其内生变量与误差项之间可能存在相关性，使用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）直接估计会导致估计量偏差和不一致性。因此，针对联立方程模型的特点，发展出了专门的估计方法，如工具变量法（Instrumental Variables, IV）、两阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）、三阶段最小二乘法（Three-Stage Least Squares, 3SLS）等。这些方法主要解决内生性和方程系统中的复杂依存关系。接下来，我们将详细讨论这些估计方法，以及如何使用它们来解决联立方程模型中的问题。
3.1 工具变量法（Instrumental Variables, IV）
工具变量法是一种用于解决内生性问题的估计方法。所谓内生性问题，指的是模型中的解释变量与误差项存在相关性，导致估计结果偏差。内生性通常来自两个方面：一个是遗漏变量问题，即某些影响因变量的因素未能包含在模型中；另一个是逆因果关系，即因变量反过来也影响自变量。在这种情况下，工具变量法通过引入一个外生的工具变量来代替内生自变量进行回归，从而消除内生性引发的估计偏差。
工具变量的选择条件：
- 相关性：工具变量必须与内生自变量相关，只有这样才能有效替代内生自变量进行估计。
- 外生性：工具变量不能与误差项相关，否则无法消除偏差。
工具变量法的主要步骤包括： - 第一步：找到一个合适的工具变量，与内生自变量高度相关但与误差项不相关。
- 第二步：使用工具变量对内生自变量进行回归，获得其预测值。
- 第三步：用预测值代替原内生自变量进行第二次回归，得到最终的参数估计。
工具变量法适用于那些因果关系较为复杂、解释变量可能受到其它未观测因素影响的模型，例如教育对工资的影响模型中，教育可能受到家庭背景等因素的影响。
局限性：工具变量法的关键在于选择合适的工具变量。如果工具变量选择不当，可能会引入新的估计偏差。同时，如果工具变量与内生自变量的相关性较弱，估计的效率也会下降。
3.2 两阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）
两阶段最小二乘法是解决联立方程模型中内生性问题的标准方法之一。该方法通过分两步进行回归，先解决内生自变量的偏差问题，再估计模型的参数。
2SLS的步骤：
- 第一步：处理内生自变量。用模型中的外生变量和工具变量对内生自变量进行回归，得到内生自变量的预测值。
- 第二步：回归模型。将第一步得到的预测值代替内生自变量，使用普通最小二乘法对原始方程进行回归，估计模型的参数。
应用示例：假设有一个供需模型，其中供给和需求相互影响。在2SLS方法中，首先用价格等外生变量对供给和需求进行回归，得到预测值；然后用这些预测值来估计供给和需求的方程。
优点：两阶段最小二乘法能够处理内生性问题，特别是当模型中存在多个内生变量时，2SLS能够同时估计它们的影响，确保估计结果一致。
局限性：该方法的局限性在于，所选的工具变量必须是强相关且外生的。如果工具变量选择不当，仍然会导致估计结果的偏差和低效率。
3.3 三阶段最小二乘法（Three-Stage Least Squares, 3SLS）
三阶段最小二乘法是2SLS方法的扩展，它不仅能够解决内生性问题，还能处理方程之间的误差项相关性。3SLS通过同时估计联立方程系统的多个方程，提高了估计效率。
3SLS的步骤：
- 第一阶段：使用外生变量对内生自变量进行回归，获得预测值（类似于2SLS的第一步）。
- 第二阶段：将预测值代入每个方程，对每个方程单独进行普通最小二乘法估计。
- 第三阶段：结合所有方程的误差项，使用广义最小二乘法（GLS）对整个系统进行修正，考虑方程之间的误差相关性。
3SLS方法非常适合用于多个市场或多个国家相互依存的宏观经济分析，能够同时捕捉多个变量的交互作用。
优势：3SLS能够处理多个方程之间误差项的相关性，因此相较于2SLS，3SLS的估计效率更高。
局限性：由于需要考虑多个方程之间的相关性，3SLS的计算量较大，模型结构复杂。此外，3SLS依赖于正确的模型识别，如果某个方程未被正确识别，整个系统的估计可能会出现问题。
3.4 平稳性检验和协整分析
在时间序列数据中，许多经济变量往往表现出非平稳性，这意味着其均值、方差和自相关结构随时间变化。如果直接使用非平稳数据进行回归分析，可能会出现伪回归问题，导致估计结果失效。为了解决这一问题，必须首先进行平稳性检验和协整分析。
平稳性检验：常用的平稳性检验方法是单位根检验，如Augmented Dickey-Fuller (ADF) 检验和Phillips-Perron (PP) 检验。单位根检验可以帮助我们判断时间序列数据是否是平稳的。如果一个时间序列存在单位根，即非平稳的，我们可以通过差分处理将其转化为平稳序列。
协整分析：如果模型中的多个变量都是非平稳的，但它们之间存在长期的均衡关系（协整关系），那么即使它们各自是非平稳的，它们的某些线性组合仍然可能是平稳的。在这种情况下，协整分析可以帮助我们识别这种长期均衡关系，通常通过Engle-Granger两步法或Johansen检验来进行。
误差修正模型（ECM）：在发现变量之间存在协整关系后，我们可以构建误差修正模型来描述短期动态与长期均衡的关系。误差修正模型能够捕捉变量偏离长期均衡时的调整速度，从而确保模型在长短期分析中的一致性。
3.5 格兰杰因果关系检验
格兰杰因果关系检验是一种判断两个变量之间因果关系的方法，尤其适用于时间序列数据。在联立方程模型中，格兰杰因果关系检验可以帮助分析不同经济变量之间的相互影响。
基本思想：如果一个变量的过去值可以帮助预测另一个变量的未来值，则称该变量格兰杰引起了另一个变量。需要注意的是，格兰杰因果关系并不一定是真正的因果关系，只是时间上的先后顺序。
检验步骤：
- 选择合适的滞后期。
- 检查一个变量的滞后项对另一个变量的解释能力。
- 如果滞后项显著，则存在格兰杰因果关系。
应用示例：在宏观经济模型中，可以使用格兰杰因果检验来分析利率和通货膨胀率之间的动态关系，从而帮助预测经济走势。
3.6 误差修正模型（Error Correction Model, ECM）
在存在协整关系的情况下，误差修正模型（ECM）是描述短期和长期动态关系的有效工具。误差修正模型结合了差分项（描述短期变化）和误差修正项（描述偏离长期均衡的调整过程），因此能够同时捕捉短期波动和长期趋势。
误差修正模型的通用形式如下：
其中，误差修正项表示变量之间偏离长期均衡关系的误差，\(\alpha\)表示调整速度，即变量回归长期均衡状态的速率。
误差修正模型的优势在于，它不仅能够解释短期波动，还能描述变量之间的长期均衡关系，在宏观经济分析中有广泛应用。
3.7 模型的检验和诊断
在估计联立方程模型之后，必须进行一系列检验和诊断，以确保模型的有效性和一致性。
- 识别检验：识别检验用于判断模型的每个方程是否正确识别。通常使用秩条件和阶条件进行识别检验，如果某个方程未被识别，估计结果将不具备经济意义。
- 序列相关性检验：用于检测模型的残差项是否存在序列相关性。常用的检验方法是Durbin-Watson检验。如果残差存在序列相关性，模型的估计可能会有偏差，需要进一步调整。
- 异方差性检验：异方差性指的是误差项的方差随着自变量的变化而变化。异方差性会导致估计结果无效，常用的检验方法有白检验（White test）和Breusch-Pagan检验。
- 多重共线性检验：用于检测解释变量之间是否存在高度相关性。如果解释变量之间存在多重共线性，估计结果可能不稳定，影响解释效力。
这些检验和诊断有助于我们识别模型中的潜在问题，并通过相应的调整提高模型的准确性和有效性。
三、案例分析
下表为1978-2003中国宏观经济数据，建立宏观经济模型。
| 年份 | CSt（居民消费总额，亿元） | Yt（国内生产总值，亿元） | It（总投资，亿元） | Gt（政府消费，亿元） |
|---|---|---|---|---|
| 1978 | 1759.100 | 3605.600 | 1377.900 | 468.6000 |
| 1979 | 1966.078 | 3994.118 | 1445.294 | 582.7451 |
| 1980 | 2143.478 | 4210.268 | 1470.860 | 595.9297 |
| 1981 | 2352.394 | 4427.642 | 1428.184 | 647.0641 |
| 1982 | 2542.465 | 4866.312 | 1560.461 | 763.3865 |
| 1983 | 2779.476 | 5306.812 | 1751.092 | 776.2445 |
| 1984 | 3121.920 | 6087.001 | 2097.366 | 867.7145 |
| 1985 | 3582.358 | 6863.466 | 2643.247 | 637.8610 |
| 1986 | 3810.751 | 7461.561 | 2832.106 | 818.7040 |
| 1987 | 4091.421 | 8088.332 | 2966.369 | 1030.5422 |
| 1988 | 4419.861 | 8514.186 | 3181.818 | 912.5072 |
| 1989 | 4190.511 | 8095.379 | 2996.559 | 908.3088 |
| 1990 | 4387.675 | 8820.173 | 3102.552 | 1329.9470 |
| 1991 | 4827.281 | 9958.072 | 3517.548 | 1613.2429 |
| 1992 | 5532.771 | 11484.769 | 4278.863 | 1673.1350 |
| 1993 | 6152.373 | 13534.994 | 5883.876 | 1498.7446 |
| 1994 | 6708.511 | 15051.805 | 6209.091 | 2134.2037 |
| 1995 | 7566.554 | 16430.918 | 6705.139 | 2159.2249 |
| 1996 | 8510.402 | 18086.395 | 7111.488 | 2464.5050 |
| 1997 | 9152.994 | 19667.595 | 7473.109 | 3041.4916 |
| 1998 | 9954.462 | 21300.431 | 7966.002 | 3379.9676 |
| 1999 | 10932.296 | 22977.515 | 8532.963 | 3512.2568 |
| 2000 | 12103.725 | 25209.058 | 8532.963 | 3934.9605 |
| 2001 | 13054.067 | 28041.212 | 9170.372 | 4332.7645 |
| 2002 | 14086.916 | 31094.409 | 12191.614 | 4815.8790 |
| 2003 | 15194.260 | 35047.995 | 14820.508 | 5033.2276 |
我们建立如下所示的宏观经济模型:
- 消费函数:
- 投资函数:
- 收入方程:
我们根据前面介绍的关于联立方程模型的识别的相关知识，容易判断该联立方程模型中投资函数方程是过度识别的，消费函数方程是恰好识别的，整个结构模型是可识别的。
具体的步骤如下面所述。
-
在我们的联立方程模型中，$ C S_t、 I_t、 Y_t $ 为内生变量，$ C S_{t-1}、 G_t $ 为前定变量。所以结构模型中内生变量即结构方程的个数为 3,内生变量和前定变量的总个数为 5。
-
阶条件：
- 对于投资函数方程来说，方程中内生变量和前定变量的总个数为 2,根据前面讲过的条件 \(K - M_i \geqslant G - 1\)，\(5 - 2 > 3 - 1\)，所以阶条件成立，此时如果投资函数方程可识别，则为过度识别；
- 对于消费函数方程来说，方程中内生变量和前定变量的总个数为 3,根据前面讲过的条件 \(K - M_i \geqslant G - 1\)，\(5 - 3 = 3 - 1\)，所以阶条件成立，此时如果消费函数方程可识别，则为恰好识别；
- 对于收入函数方程来说，方程中内生变量和前定变量的总个数为 3,根据前面讲过的条件 \(K - M_i \geqslant G - 1\)，\(5 - 3 = 3 - 1\)，所以阶条件成立，此时如果收入函数方程可识别，则为恰好识别。
-
秩条件：首先整理结构模型，通过移项，得到新的形式为：
- 消费函数:
- 投资函数:
- 收入方程:
结构模型对应的参数矩阵为:
\[ \begin{pmatrix} -\alpha_0 & 1 & -\alpha_1 & -\alpha_2 & 0 & 0 \\ -\beta_0 & 0 & -\beta_1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \]设资函数方程来说，在删去其所对应的行以及其非零元素所对应的列以后，得到的:
\[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & -\alpha_2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \]其秩为2=3-1，所以本方程可识别，结合阶条件，本方程为过渡识别。
对于消费函数方程来说，在删去其所对应的行以及其非零元素所对应的列以后，得到的子矩阵是：
其秩为2=3-1，所以本方程可识别，结合阶条件，本方程为恰好识别。
对于收入方程来说，在删除其所对应的行列以及其非零元素所对应的列以后，得到的子矩阵是
其秩为2=3-1，所以本方程可识别，结合阶条件，本方程为恰好识别。
- 综合可知，本结构模型可识别。
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.sandbox.regression.gmm import IV2SLS
import numpy as np
# 创建数据
data = pd.DataFrame({
'Year': [1978, 1979, 1980, 1981, 1982, 1983, 1984, 1985, 1986, 1987, 1988, 1989, 1990, 1991, 1992, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003],
'CSt': [1759.1, 1966.078, 2143.478, 2352.394, 2542.465, 2779.476, 3121.92, 3582.358, 3810.751, 4091.421, 4419.861, 4190.511, 4387.675, 4827.281, 5532.771, 6152.373, 6708.511, 7566.554, 8510.402, 9152.994, 9954.462, 10932.296, 12103.725, 13054.067, 14086.916, 15194.26],
'Yt': [3605.6, 3994.118, 4210.268, 4427.642, 4866.312, 5306.812, 6087.001, 6863.466, 7461.561, 8088.332, 8514.186, 8095.379, 8820.173, 9958.072, 11484.769, 13534.994, 15051.805, 16430.918, 18086.395, 19667.595, 21300.431, 22977.515, 25209.058, 28041.212, 31094.409, 35047.995],
'It': [1377.9, 1445.294, 1470.86, 1428.184, 1560.461, 1751.092, 2097.366, 2643.247, 2832.106, 2966.369, 3181.818, 2996.559, 3102.552, 3517.548, 4278.863, 5883.876, 6209.091, 6705.139, 7111.488, 7473.109, 7966.002, 8532.963, 8532.963, 9170.372, 12191.614, 14820.508],
'Gt': [468.6, 582.7451, 595.9297, 647.0641, 763.3865, 776.2445, 867.7145, 637.861, 818.704, 1030.5422, 912.5072, 908.3088, 1329.947, 1613.2429, 1673.135, 1498.7446, 2134.2037, 2159.2249, 2464.505, 3041.4916, 3379.9676, 3512.2568, 3934.9605, 4332.7645, 4815.879, 5033.2276]
})
# 填补缺失值（线性插值）
data['It'] = data['It'].interpolate()
# 创建滞后值
data['CSt_lag'] = data['CSt'].shift(1)
# 删除第一个因其滞后值为空的行
data = data.dropna()
# 消费函数的IV 2SLS 估计
Y = data['CSt']
X = sm.add_constant(data[['Yt', 'CSt_lag']])
Z = sm.add_constant(data[['Yt', 'Gt']]) # 工具变量
consumption_model = IV2SLS(Y, X, Z).fit()
# 投资函数的IV 2SLS 估计
Y_investment = data['It']
X_investment = sm.add_constant(data[['Yt']])
Z_investment = sm.add_constant(data[['Yt', 'Gt']]) # 工具变量
investment_model = IV2SLS(Y_investment, X_investment, Z_investment).fit()
# 输出模型估计结果
print("Consumption Function Estimation:")
print(consumption_model.summary())
print("\nInvestment Function Estimation:")
print(investment_model.summary())
# 收入方程的直接计算
data['Yt_calculated'] = data['It'] + data['CSt'] + data['Gt']
# 打印联立方程模型
def print_model_expressions():
print("=====================")
print("\n**Consumption Function**")
print("CSt = {:.4f} + {:.4f} * Yt + {:.4f} * CSt_lag".format(consumption_model.params.iloc[0],
consumption_model.params.iloc[1],
consumption_model.params.iloc[2]))
print("\n**Investment Function**")
print("It = {:.4f} + {:.4f} * Yt".format(investment_model.params.iloc[0], investment_model.params.iloc[1]))
print("\n**Income Equation**")
print("Yt = It + CSt + Gt")
# 输出联立方程模型
print_model_expressions()
IV2SLS Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: CSt R-squared: 0.998
Model: IV2SLS Adj. R-squared: 0.998
Method: Two Stage F-statistic: 5874.
Least Squares Prob (F-statistic): 9.72e-31
Date: Fri, 18 Oct 2024
Time: 19:37:44
No. Observations: 25
Df Residuals: 22
Df Model: 2
==============================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const 43.4272 230.329 0.189 0.852 -434.245 521.100
Yt 0.0317 0.216 0.147 0.884 -0.416 0.479
CSt_lag 1.0095 0.533 1.893 0.072 -0.096 2.115
==============================================================================
Omnibus: 12.706 Durbin-Watson: 1.400
Prob(Omnibus): 0.002 Jarque-Bera (JB): 13.858
Skew: -1.118 Prob(JB): 0.000979
Kurtosis: 5.882 Cond. No. 4.27e+04
==============================================================================
Investment Function Estimation:
IV2SLS Regression Results
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Dep. Variable: It R-squared: 0.977
Model: IV2SLS Adj. R-squared: 0.976
Method: Two Stage F-statistic: 994.8
Least Squares Prob (F-statistic): 1.96e-20
Date: Fri, 18 Oct 2024
Time: 19:37:44
No. Observations: 25
Df Residuals: 23
Df Model: 1
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coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
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const -178.5783 203.070 -0.879 0.388 -598.660 241.503
Yt 0.3898 0.012 31.541 0.000 0.364 0.415
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Omnibus: 8.665 Durbin-Watson: 0.931
Prob(Omnibus): 0.013 Jarque-Bera (JB): 9.891
Skew: -0.596 Prob(JB): 0.00711
Kurtosis: 5.842 Cond. No. 3.02e+04
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Consumption Function
CSt = 43.4272 + 0.0317 * Yt + 1.0095 * CSt_lag
Investment Function
It = -178.5783 + 0.3898 * Yt
Income Equation
Yt = It + CSt + Gt
总结
联立方程模型为我们提供了研究多个相互依存变量之间关系的重要工具。通过构建多个相互作用的方程，我们能够更准确地描述和分析复杂的经济现象。无论是在宏观经济学、金融学，还是其他领域，联立方程模型都发挥着至关重要的作用。以简单凯恩斯模型为例，我们看到了如何通过联立方程来解释总需求、总消费和总收入的相互关系。在未来的研究中，联立方程模型还可以结合更多动态因素，如价格、利率和货币供应，形成更复杂的经济分析框架。
