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csp-s模拟12

时间：2024-10-18 17:47:59浏览次数：1  
标签：__ 12 log ll sqrt pi csp 模拟 define

csp-s模拟12

\(T1\) T2918. 小 h 的几何 \(100pts\)

  • 对于任意三角形，均有其三条边的中点、三条高的垂足、三个顶点与垂心连线的中点，这九个点在一个圆上。

  • 观察样例可知，对于单位圆上 \(\triangle ABC\) 的三个顶点 \(A(x_{a},y_{a}),B(x_{b},y_{b}),C(x_{c},y_{c})\) ，其九点圆圆心为 \(\Omega (A,B,C)=(\dfrac{x_{a}+x_{b}+x_{c}}{2},\dfrac{y_{a}+y_{b}+y_{c}}{2})\) 。

    • 证明

      • 直接构造坐标（从单位圆的角度考虑）

        • 不妨只取三条边的中点参与计算，等价于求 \(D(\dfrac{x_{a}+x_{b}}{2},\dfrac{y_{a}+y_{b}}{2}),E(\dfrac{x_{a}+x_{c}}{2},\dfrac{y_{a}+y_{c}}{2}),F(\dfrac{x_{b}+x_{c}}{2},\dfrac{y_{b}+y_{c}}{2})\) 的外接圆圆心。
        • 设 \(\Omega (A,B,C)=(x,y)\) 等价于求 \(\begin{cases} (x-\frac{x_{a}+x_{b}}{2})^{2}+(y-\frac{y_{a}+y_{b}}{2})^{2}=r^{2} \\ (x-\frac{x_{a}+x_{c}}{2})^{2}+(y-\frac{y_{a}+y_{c}}{2})^{2}=r^{2} \\ (x-\frac{x_{b}+x_{c}}{2})^{2}+(y-\frac{y_{b}+y_{c}}{2})^{2}=r^{2} \end{cases}\) ，又因为 \(x_{a}^{2}+y_{a}^{2}=x_{b}^{2}+y_{b}^{2}=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}=1^{2}=1\) ，不难想到构造 \(\begin{cases} x=\frac{x_{a}+x_{b}+x_{c}}{2} \\ y=\frac{y_{a}+y_{b}+y_{c}}{2} \end{cases}\) 。
          • 由中点三角形的相似性 \(\triangle ABC \backsim \triangle FED\) 和相似比等于 \(2\) ，不难得到 \(\triangle ABC\) 外接圆半径和 \(\triangle FED\) 外接圆半径的相似比也等于 \(2\) 。
            • 好像这个结论不是很显然（从代数推导的角度可能会比较显然？），证明咕了。

      • 挂下题解做法。

  • 统计 \((x_{i},y_{i})\) 作为 \(A,B,C\) 计算次数的贡献即可，拆开式子减小精度误差，有 \(\dbinom{n-i}{2}+\dbinom{i-1}{1}\dbinom{n-i}{1}+\dbinom{i-1}{2}=\dfrac{(n-i)(n-i-1)}{2}+(i-1)(n-i)+\dfrac{(i-1)(i-2)}{2}\) 。

    点击查看代码 
    const double Pi=3.141592653589,mod=1000000000;
int main()
{
	freopen("geometry.in","r",stdin);
	freopen("geometry.out","w",stdout);
	ll n,i;
	double q,x,y,ansx=0,ansy=0;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>q;
		x=cos(q/mod*Pi);
		y=sin(q/mod*Pi);
		if(i<=n-2)
		{
			ansx+=x*(n-i)*(n-i-1)/2;
			ansy+=y*(n-i)*(n-i-1)/2;
		}
		if(2<=i&&i<=n-1)
		{
			ansx+=x*(i-1)*(n-i);
			ansy+=y*(i-1)*(n-i);
		}
		if(3<=i)
		{
			ansx+=x*(i-1)*(i-2)/2;
			ansy+=y*(i-1)*(i-2)/2;
		}
	}
	ansx*=(3.0/n/(n-1)/(n-2));
	ansy*=(3.0/n/(n-1)/(n-2));
	printf("%.12lf %.12lf",ansx,ansy);
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}

\(T2\) T2919. 小 w 的代数 \(10pts\)

  • 部分分

    • 子任务 \(3\) ：对于整条链上的每个节点都有选/不选两种选择，且最终得到的非空点集一定合法，故 \(2^{n}-1\) 即为所求，时间复杂度为 \(O(\log n)\) 。

  • 正解

    • 等学了圆方树再来补。

\(T3\) T2920. 小 y 的数论 \(15pts\)

  • 多倍经验： 2023牛客OI赛前集训营-提高组（第一场） D 虚树

  • 因为本身就是棵树，所以最小斯坦纳树 \(f(S)\) 等价于点集 \(S\) 的虚树。

  • 部分分

    • 子任务 \(1\) ：爆搜后虚树正常做即可，时间复杂度为 \(O(2^{n}qk( \log k+ \log n))\) 。

      点击查看代码 
      struct node
{
	ll nxt,to,w;
}e[600010];
ll head[600010],fa[600010],siz[600010],dep[600010],son[600010],top[600010],dis[600010],dfn[600010],pos[600010],tot=0,cnt=0,ans;
vector<ll>s,tmp;
void add(ll u,ll v,ll w)
{
	cnt++;
	e[cnt].nxt=head[u];
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].w=w;
	head[u]=cnt;
}
void dfs1(ll x,ll father)
{
	tot++;
	dfn[x]=tot;
	pos[tot]=x;
	siz[x]=1;
	fa[x]=father;
	dep[x]=dep[father]+1;
	for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
	{
		if(e[i].to!=father)
		{
			dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].w;
			dfs1(e[i].to,x);
			siz[x]+=siz[e[i].to];
			son[x]=(siz[e[i].to]>siz[son[x]])?e[i].to:son[x];
		}
	}
}
void dfs2(ll x,ll id)
{
	top[x]=id;
	if(son[x]!=0)
	{
		dfs2(son[x],id);
		for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
		{
			if(e[i].to!=fa[x]&&e[i].to!=son[x])
			{
				dfs2(e[i].to,e[i].to);
			}
		}
	}
}
ll lca(ll u,ll v)
{
	while(top[u]!=top[v])
	{
		if(dep[top[u]]>dep[top[v]])
		{
			u=fa[top[u]];
		}
		else
		{
			v=fa[top[v]];
		}
	}
	return (dep[u]>dep[v])?v:u;
}
ll get_dis(ll x,ll y)
{
	x=pos[x];
	y=pos[y];
	return dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)];
}
void dfs(ll pos,ll n,ll k)
{
	if(s.size()==k)
	{
		tmp.clear();
		for(ll i=0;i<s.size();i++)
		{
			tmp.push_back(s[i]);
		}
		sort(tmp.begin(),tmp.end());
		ll sum=get_dis(tmp[0],tmp.back());
		for(ll i=1;i<tmp.size();i++)
		{
			sum+=get_dis(tmp[i],tmp[i-1]);
		}	
		ans=max(ans,sum/2);
		return;
	}
	if(pos==n+1)
	{
		return;
	}
	else
	{
		s.push_back(dfn[pos]);
		dfs(pos+1,n,k);
		s.pop_back();
		dfs(pos+1,n,k);
	}
}
int main()
{
	freopen("number.in","r",stdin);
	freopen("number.out","w",stdout);
	ll n,q,u,v,w,l,r,len,k,i;
	scanf("%lld",&n);
	for(i=1;i<=n-1;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,1);
	scanf("%lld",&q);
	for(i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&k);
		ans=0;
		dfs(l,r,k);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}

  • 正解

\(T4\) T2921. 小j 的组合 \(15pts\)

  • 部分分

    • 子任务 \(3\) ：整条链本身就是一条哈密顿回路，直接输出 \(1 \sim n\) 即可。

  • 正解

    • 操作实际上是将 \(v\) 复制给 \(v'\) ，本质是从 \(v\) 的某个子节点回溯到 \(v/v'\) 的过程。
    • 然后做法就和 [ABC361E] Tree and Hamilton Path 2 一样了，不在直径上回溯即可。
    • 具体地，记录重儿子（子树深度最大的儿子），再次遍历时优先遍历轻儿子，那么最后遍历的一定是直径，通过遍历节点数量特判即可（当深度相同时，难以钦定直径端点在的方向的儿子为重儿子）。
    点击查看代码 
    struct node
{
	int nxt,to;
}e[10010];
int head[10010],dep[10010],son[10010],maxx[10010],vis[10010],cnt=0,tot=0,rt=0;
vector<int>ans;
void add(int u,int v)
{
	cnt++;
	e[cnt].nxt=head[u];
	e[cnt].to=v;
	head[u]=cnt;
}
void dfs1(int x,int fa)
{
	maxx[x]=dep[x]=dep[fa]+1;
	son[x]=0;
	for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
	{
		if(e[i].to!=fa)
		{
			dfs1(e[i].to,x);
			son[x]=(maxx[e[i].to]>maxx[son[x]])?e[i].to:son[x];
			maxx[x]=max(maxx[x],maxx[e[i].to]);
		}
	}
}
void dfs2(int x,int fa,int n)
{
	tot++;
	ans.push_back(x);	
	if(son[x]!=0)
	{
		for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
		{
			if(e[i].to!=fa&&e[i].to!=son[x])
			{
				dfs2(e[i].to,x,n);
				ans.push_back(x);
			}
		}
		dfs2(son[x],x,n);
		if(tot!=n)
		{
			ans.push_back(x);
		}
	}
}
int main()
{
	freopen("combo.in","r",stdin);
	freopen("combo.out","w",stdout);
	int n,u,v,rt_sum,i;
	cin>>n;
	rt_sum=n;
	for(i=1;i<=n-1;i++)
	{
		cin>>u>>v;
		add(u,v);
		add(v,u);
	}
	dfs1(1,0);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		rt=(dep[i]>dep[rt])?i:rt;
	}
	dfs1(rt,0);
	dfs2(rt,0,n);
	cout<<ans.size()-n<<endl;
	for(i=0;i<ans.size();i++)
	{
		if(vis[ans[i]]==0)
		{
			vis[ans[i]]=1;
		}
		else
		{
			cout<<ans[i]<<" ";
			rt_sum++;
			ans[i]=rt_sum;
		}
	}
	cout<<endl;
	for(i=0;i<ans.size();i++)
	{
		cout<<ans[i]<<" ";
	}
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}

总结

  • \(T1\) 赛时猜的结论赶紧有点不符合常识，但因为本场难度过于逆天且 \(T1\) 没有大样例就直接交了。
    • 在 C/C++ 插件里通过自动补全捣鼓出一些东西。

      • math.h 里的一些常用常数，貌似是 GNU 下独有的（存疑）。

        点击查看代码 
        /* Some useful constants.  */
#if defined __USE_MISC || defined __USE_XOPEN
# define M_E		2.7182818284590452354	/* e */
# define M_LOG2E	1.4426950408889634074	/* log_2 e */
# define M_LOG10E	0.43429448190325182765	/* log_10 e */
# define M_LN2		0.69314718055994530942	/* log_e 2 */
# define M_LN10		2.30258509299404568402	/* log_e 10 */
# define M_PI		3.14159265358979323846	/* pi */
# define M_PI_2		1.57079632679489661923	/* pi/2 */
# define M_PI_4		0.78539816339744830962	/* pi/4 */
# define M_1_PI		0.31830988618379067154	/* 1/pi */
# define M_2_PI		0.63661977236758134308	/* 2/pi */
# define M_2_SQRTPI	1.12837916709551257390	/* 2/sqrt(pi) */
# define M_SQRT2	1.41421356237309504880	/* sqrt(2) */
# define M_SQRT1_2	0.70710678118654752440	/* 1/sqrt(2) */
#endif

/* The above constants are not adequate for computation using `long double's.
Therefore we provide as an extension constants with similar names as a
GNU extension.  Provide enough digits for the 128-bit IEEE quad.  */
#ifdef __USE_GNU
# define M_El		2.718281828459045235360287471352662498L /* e */
# define M_LOG2El	1.442695040888963407359924681001892137L /* log_2 e */
# define M_LOG10El	0.434294481903251827651128918916605082L /* log_10 e */
# define M_LN2l		0.693147180559945309417232121458176568L /* log_e 2 */
# define M_LN10l	2.302585092994045684017991454684364208L /* log_e 10 */
# define M_PIl		3.141592653589793238462643383279502884L /* pi */
# define M_PI_2l	1.570796326794896619231321691639751442L /* pi/2 */
# define M_PI_4l	0.785398163397448309615660845819875721L /* pi/4 */
# define M_1_PIl	0.318309886183790671537767526745028724L /* 1/pi */
# define M_2_PIl	0.636619772367581343075535053490057448L /* 2/pi */
# define M_2_SQRTPIl	1.128379167095512573896158903121545172L /* 2/sqrt(pi) */
# define M_SQRT2l	1.414213562373095048801688724209698079L /* sqrt(2) */
# define M_SQRT1_2l	0.707106781186547524400844362104849039L /* 1/sqrt(2) */
#endif

#if __HAVE_FLOAT16 && defined __USE_GNU
# define M_Ef16		__f16 (2.718281828459045235360287471352662498) /* e */
# define M_LOG2Ef16	__f16 (1.442695040888963407359924681001892137) /* log_2 e */
# define M_LOG10Ef16	__f16 (0.434294481903251827651128918916605082) /* log_10 e */
# define M_LN2f16	__f16 (0.693147180559945309417232121458176568) /* log_e 2 */
# define M_LN10f16	__f16 (2.302585092994045684017991454684364208) /* log_e 10 */
# define M_PIf16	__f16 (3.141592653589793238462643383279502884) /* pi */
# define M_PI_2f16	__f16 (1.570796326794896619231321691639751442) /* pi/2 */
# define M_PI_4f16	__f16 (0.785398163397448309615660845819875721) /* pi/4 */
# define M_1_PIf16	__f16 (0.318309886183790671537767526745028724) /* 1/pi */
# define M_2_PIf16	__f16 (0.636619772367581343075535053490057448) /* 2/pi */
# define M_2_SQRTPIf16	__f16 (1.128379167095512573896158903121545172) /* 2/sqrt(pi) */
# define M_SQRT2f16	__f16 (1.414213562373095048801688724209698079) /* sqrt(2) */
# define M_SQRT1_2f16	__f16 (0.707106781186547524400844362104849039) /* 1/sqrt(2) */
#endif

#if __HAVE_FLOAT32 && defined __USE_GNU
# define M_Ef32		__f32 (2.718281828459045235360287471352662498) /* e */
# define M_LOG2Ef32	__f32 (1.442695040888963407359924681001892137) /* log_2 e */
# define M_LOG10Ef32	__f32 (0.434294481903251827651128918916605082) /* log_10 e */
# define M_LN2f32	__f32 (0.693147180559945309417232121458176568) /* log_e 2 */
# define M_LN10f32	__f32 (2.302585092994045684017991454684364208) /* log_e 10 */
# define M_PIf32	__f32 (3.141592653589793238462643383279502884) /* pi */
# define M_PI_2f32	__f32 (1.570796326794896619231321691639751442) /* pi/2 */
# define M_PI_4f32	__f32 (0.785398163397448309615660845819875721) /* pi/4 */
# define M_1_PIf32	__f32 (0.318309886183790671537767526745028724) /* 1/pi */
# define M_2_PIf32	__f32 (0.636619772367581343075535053490057448) /* 2/pi */
# define M_2_SQRTPIf32	__f32 (1.128379167095512573896158903121545172) /* 2/sqrt(pi) */
# define M_SQRT2f32	__f32 (1.414213562373095048801688724209698079) /* sqrt(2) */
# define M_SQRT1_2f32	__f32 (0.707106781186547524400844362104849039) /* 1/sqrt(2) */
#endif

#if __HAVE_FLOAT64 && defined __USE_GNU
# define M_Ef64		__f64 (2.718281828459045235360287471352662498) /* e */
# define M_LOG2Ef64	__f64 (1.442695040888963407359924681001892137) /* log_2 e */
# define M_LOG10Ef64	__f64 (0.434294481903251827651128918916605082) /* log_10 e */
# define M_LN2f64	__f64 (0.693147180559945309417232121458176568) /* log_e 2 */
# define M_LN10f64	__f64 (2.302585092994045684017991454684364208) /* log_e 10 */
# define M_PIf64	__f64 (3.141592653589793238462643383279502884) /* pi */
# define M_PI_2f64	__f64 (1.570796326794896619231321691639751442) /* pi/2 */
# define M_PI_4f64	__f64 (0.785398163397448309615660845819875721) /* pi/4 */
# define M_1_PIf64	__f64 (0.318309886183790671537767526745028724) /* 1/pi */
# define M_2_PIf64	__f64 (0.636619772367581343075535053490057448) /* 2/pi */
# define M_2_SQRTPIf64	__f64 (1.128379167095512573896158903121545172) /* 2/sqrt(pi) */
# define M_SQRT2f64	__f64 (1.414213562373095048801688724209698079) /* sqrt(2) */
# define M_SQRT1_2f64	__f64 (0.707106781186547524400844362104849039) /* 1/sqrt(2) */
#endif

#if __HAVE_FLOAT128 && defined __USE_GNU
# define M_Ef128	__f128 (2.718281828459045235360287471352662498) /* e */
# define M_LOG2Ef128	__f128 (1.442695040888963407359924681001892137) /* log_2 e */
# define M_LOG10Ef128	__f128 (0.434294481903251827651128918916605082) /* log_10 e */
# define M_LN2f128	__f128 (0.693147180559945309417232121458176568) /* log_e 2 */
# define M_LN10f128	__f128 (2.302585092994045684017991454684364208) /* log_e 10 */
# define M_PIf128	__f128 (3.141592653589793238462643383279502884) /* pi */
# define M_PI_2f128	__f128 (1.570796326794896619231321691639751442) /* pi/2 */
# define M_PI_4f128	__f128 (0.785398163397448309615660845819875721) /* pi/4 */
# define M_1_PIf128	__f128 (0.318309886183790671537767526745028724) /* 1/pi */
# define M_2_PIf128	__f128 (0.636619772367581343075535053490057448) /* 2/pi */
# define M_2_SQRTPIf128	__f128 (1.128379167095512573896158903121545172) /* 2/sqrt(pi) */
# define M_SQRT2f128	__f128 (1.414213562373095048801688724209698079) /* sqrt(2) */
# define M_SQRT1_2f128	__f128 (0.707106781186547524400844362104849039) /* 1/sqrt(2) */
#endif

#if __HAVE_FLOAT32X && defined __USE_GNU
# define M_Ef32x	__f32x (2.718281828459045235360287471352662498) /* e */
# define M_LOG2Ef32x	__f32x (1.442695040888963407359924681001892137) /* log_2 e */
# define M_LOG10Ef32x	__f32x (0.434294481903251827651128918916605082) /* log_10 e */
# define M_LN2f32x	__f32x (0.693147180559945309417232121458176568) /* log_e 2 */
# define M_LN10f32x	__f32x (2.302585092994045684017991454684364208) /* log_e 10 */
# define M_PIf32x	__f32x (3.141592653589793238462643383279502884) /* pi */
# define M_PI_2f32x	__f32x (1.570796326794896619231321691639751442) /* pi/2 */
# define M_PI_4f32x	__f32x (0.785398163397448309615660845819875721) /* pi/4 */
# define M_1_PIf32x	__f32x (0.318309886183790671537767526745028724) /* 1/pi */
# define M_2_PIf32x	__f32x (0.636619772367581343075535053490057448) /* 2/pi */
# define M_2_SQRTPIf32x	__f32x (1.128379167095512573896158903121545172) /* 2/sqrt(pi) */
# define M_SQRT2f32x	__f32x (1.414213562373095048801688724209698079) /* sqrt(2) */
# define M_SQRT1_2f32x	__f32x (0.707106781186547524400844362104849039) /* 1/sqrt(2) */
#endif

#if __HAVE_FLOAT64X && defined __USE_GNU
# define M_Ef64x	__f64x (2.718281828459045235360287471352662498) /* e */
# define M_LOG2Ef64x	__f64x (1.442695040888963407359924681001892137) /* log_2 e */
# define M_LOG10Ef64x	__f64x (0.434294481903251827651128918916605082) /* log_10 e */
# define M_LN2f64x	__f64x (0.693147180559945309417232121458176568) /* log_e 2 */
# define M_LN10f64x	__f64x (2.302585092994045684017991454684364208) /* log_e 10 */
# define M_PIf64x	__f64x (3.141592653589793238462643383279502884) /* pi */
# define M_PI_2f64x	__f64x (1.570796326794896619231321691639751442) /* pi/2 */
# define M_PI_4f64x	__f64x (0.785398163397448309615660845819875721) /* pi/4 */
# define M_1_PIf64x	__f64x (0.318309886183790671537767526745028724) /* 1/pi */
# define M_2_PIf64x	__f64x (0.636619772367581343075535053490057448) /* 2/pi */
# define M_2_SQRTPIf64x	__f64x (1.128379167095512573896158903121545172) /* 2/sqrt(pi) */
# define M_SQRT2f64x	__f64x (1.414213562373095048801688724209698079) /* sqrt(2) */
# define M_SQRT1_2f64x	__f64x (0.707106781186547524400844362104849039) /* 1/sqrt(2) */
#endif

      • 一些常用的三角函数（弧度制）

        • double cos(double x)
          • 计算并返回 \(x\) 的余弦值（邻边比斜边） \(\cos\) 。
        • double sin(double x)
          • 计算并返回 \(x\) 的正弦值（对边比斜边） \(\sin\) 。
        • double tan(double x)
          • 计算并返回 \(x\) 的正切值（对边比邻边） \(\tan\) 。
        • double acos(double x)
          • 计算并返回范围在 \(0 \sim \pi\) 弧度之间的 \(x\) 的反余弦值。
        • double asin(double x)
          • 计算并返回范围在 \(-\frac{\pi}{2} \sim \frac{\pi}{2}\) 弧度之间的 \(x\) 的反余弦值。
        • double atan(double x)
          • 计算并返回范围在 \(x\) 的反正切值。
        • double atan2(double x,double y)
          • 计算并返回范围在 \(\frac{y}{x}\) 的反正切值。

      • 调用 \(\pi\) 的另一个方法是 const double Pi=acos(-1); 。

  • \(T2\)
    • 读假题了，理解错了枚举顺序和编号顺序的关系，导致子任务 \(4,5\) 菊花加树的做法写假了。
    • 赛时不会无向图的基环树找环，导致子任务 \(6\) 的 \(15pts\) 的部分分没写，虽然写了也会像子任务 \(4,5\) 一样假掉。
    • 题面中对仙人掌的描述太过抽象，换个定义。
      • 如果一个无向连通图的每条边最多在一个环里，则称它是一棵 仙人掌 。多棵仙人掌可以组成 沙漠 。
      • 仙人掌 满足任意两点间最多有两条边不相交的路径，此性质和定义是等价的。
  • \(T2,T4\) 的子任务 \(4\) 把 \(i\) 看出 \(1\) 了，导致菊花的部分分写成了链的部分分。

后记

标签：__,12,log,ll,sqrt,pi,csp,模拟,define
From： https://www.cnblogs.com/The-Shadow-Dragon/p/18474785

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