\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\tilde} \]
现在我们尝试解决静电场的边值问题。这个问题有着如下模型：给定曲面上各处电势和内部的电荷分布，由唯一性原理，曲面内部的电场、电势分布随之确定。现在，我们试图解出之。
一个最朴素的场合是曲面是带电导体的边界故而是等势面，而其它位置都没有电荷。此时，在无电荷的区域，由 Gauss 定理，有
\[\nabla\cdot\b E=\dfrac\rho{\vare_0}=0 \\\b E=-\nabla\varp \\\nabla^2\varp=0 \]这是一个 Lagrange 方程的形式。一般而言，这是难以求出精确解的。
但是，如果电场在某一维上几乎没有变化，则它退化为二维问题
\[\dfrac{\p^2x}{\p x^2}+\dfrac{\p^2y}{\p y^2}=0 \]此时可以使用复变函数方法解决。
一个二维场 \(\b A=A_x\b i+A_y\b j\) 与复变函数 \(A+A_x+\i A_y\) 等效。
令 \(\b v=v_x\b i+v_y\b j\) 是不可压缩理想液体的流速场。则 \(v_x,v_y\in\mathscr C^1\)。
若 \(\b v\) 是无源场，即 \(\nabla\cdot\b v=0\)，则有
\[\dfrac{\p v_x}{\p x}=-\dfrac{\p v_y}{\p y} \]此时，令 \(-v_y\d x+v_x\d y\) 是某个二元函数 \(\psi\) 的全微分，则
\[\dfrac{\p\psi}{\p x}=-v_y,\dfrac{\p\psi}{\p y}=v_x \]沿着等值线 \(\psi(x,y)=C\)，有 \(d\psi(x,y)=-v_y\d x+v_x\d y=0\)，因此等值线上有 \(\dfrac{\d y}{\d x}=\dfrac{v_y}{v_x}\)。即，\(\psi\) 等值线上每一点处的向量场 \(\b v\) 与等值线相切，\(\psi(x,y)=C\) 是流线，\(\psi\) 称作流函数。
同时，对于无旋场的 \(\b v\)，有
\[\dfrac{\p v_y}{\p x}-\dfrac{\p v_x}{\p y}=0 \]则令 \(v_x\d x+v_y\d y\) 是 \(\varp(x,y)\) 的全微分，可知有 \(\nabla\varp=\b v\)。则 \(\varp\) 是 \(\b v\) 的势函数，其等值线为等势线。
若 \(\b v\) 既无旋又无源（典型即为无电荷区域内的电场），则它同时有势函数和流函数，比较可知有
\[\dfrac{\p\varp}{\p x}=\dfrac{\p\psi}{\p y},\dfrac{\p\varp}{\p y}=-\dfrac{\p\psi}{\p x} \]这恰是 Cauchy-Riemann 方程。于是，
\[f(z)=\varp(x,y)+\i\psi(x,y) \]则是一解析函数，称作该平面场的 复势。
有
\[v=v_x+\i v_y=\dfrac{\p\varp}{\p x}+\i\dfrac{\p\varp}{\p y}=\dfrac{\p\varp}{\p x}-\i\dfrac{\p\psi}{\p x}=\ovl{f'(z)} \]于是有流速场 \(\b v\) 对应的复变形式 \(v\) 满足 \(v(z)=\ovl{f'(z)}\) 的形式。
在电工学中，静电场 \(\b E\) 使用满足 \(\d u=-E_y\d x+E_x\d y\) 的函数作为力函数，\(\d v=-E_x\d x-E_y\d y\) 的函数作为势函数，\(w=u+\i v\) 作为复势，满足
\[\b E=-\i\ovl{f'(z)} \]与流速场的复势差一个 \(-\i\) 的因子乃是电工学中习惯用法。
微元 \(\d z\) 在可微函数 \(f(z)\) 的变换下变成了 \(\d z'\)。\(\d z\) 相对于 \(\d z'\)，有 \(\arg f'(z)\) 的辐角变换和 \(|f'(z)|\) 的长度伸缩；取同一点处的另一微元 \(\d\tilde z\)，类似分析则可知该变换是保角的。对于解析函数，其是处处保角的，因此也被称作保角变换。
现在我们假设要求一个不太优秀的区域内的电势分布。我们可以尝试对该区域应用保角变换，令该区域中的 \((x,y)\mapsto(\xi,\eta)\)。然后把 \(\nabla^2=\dfrac{\p^2}{\p x^2}+\dfrac{\p^2}{\p y^2}\) 用 \(\xi,\eta\) 表示，然后由 \(\xi,\eta\) 的 C-R 方程的一坨推导后可知，
\[\nabla^2=\left[\left(\dfrac{\p\xi}{\p x}\right)^2+\left(\dfrac{\p\xi}{\p y}\right)^2\right]\dfrac{\p^2}{\p\xi^2}+\left[\left(\dfrac{\p\eta}{\p x}\right)^2+\left(\dfrac{\p\eta}{\p y}\right)^2\right]\dfrac{\p^2}{\p\eta^2} \]因为 \(f(x,y)=\xi(x,y)+\i\eta(x,y)\)，所以两个系数都等于 \(|f'(z)|^2\)。于是有
\[\nabla_{x,y}^2=|f'(z)|^2\nabla_{\xi,\eta}^2 \]这意味着，如果从 \(x,y\) 系变到 \(\xi,\eta\) 系后，Laplace 算子会按照 \(|f'(z)|^2\) 的比例扩大。因此，如果初始是 Poisson 方程
\[\nabla^2\varp(x,y)=-\dfrac\rho{\vare_0} \]那么变换后的方程是
\[\nabla^2\varp(\xi,\eta)=-\dfrac1{|f'(z)|^2}\dfrac\rho{\vare_0} \]令新的 \(\rho\) 是原来的 \(\dfrac1{|f'(z)|^2}\) 即可。例如，依此法算电容时，\(\rho\) 虽然缩小，但 \(\d S\) 的微元会被放大 \(|f'(z)|^2\) 倍，因此总 \(Q\) 是不变的；而 \(\varp\) 在两个系中是统一的，因此 \(\varp\) 也不变，因此保角变换前后电容不变。
常见保角变换诸如：
- 线性变换 \(f(z)=az+b\)。是朴素位似，一般不单独使用。
- 幂/根变换 \(f(z)=z^n\) 或 \(f(z)=z^{1/n}\)。幂变换是 \(r\e^{\i\theta}\mapsto r^n\e^{\i n\theta}\)。这是好的，例如在某一个角度（如 \(60^\circ\)）取 \(z^3\) 即可变为半空间。在 \(\xi,\eta\) 空间中求出分布后，逆变换为 \(x,y\) 空间即可得知原分布。
- 指数函数 \(f(z)=e^xe^{\i y}\)，将平行于 \(x\) 轴的直线转为过原点的直线，将平行于 \(y\) 轴的直线转成以原点为圆心的圆。对数是其逆变换。
例：求两个半径为 \(R_1,R_2\) 的共心圆柱间的电容。
取 \(f=\ln z\)，其被变换为 \(x=\ln R_1,x=\ln R_2\)，\(y\in[0,2\pi]\) 的两个平行板。其电容直接为 \(\dfrac{\vare_0 S}d=\dfrac{\vare_02\pi}{\ln R_2-\ln R_1}\)。
- 分式线性变换 \(f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}\)。变形为 \(\dfrac ac+\dfrac{(bc-ad)/c^2}{z+d/c}\)。其可以被看作先后经过 \(z\mapsto z+c_1\)，\(z\mapsto\dfrac{c_2}z\)，\(z\mapsto z+c_3\) 三个变换的叠加。一、三都是平移，而二可以将一个圆变成另一个圆。圆变换性质很牛：对于两个对称点（即生成 Apollonius 圆恰为该圆的二点），变换后仍然保持这一性质（即对称点的像仍是对称点）。这是因为，过对称点的任意圆都与 Apollonius 圆正交（交点处，一个圆的半径会切另一个圆），而保角变换保角进而保正交。