115.不同的子序列
思路：这个题还是比较有难度的，问题s中有多少个t子序列可以转化为s字符串中有多少删除元素的方式，使s可以变成t。考虑动规五部曲。
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
2、确定递推公式
- 当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。
一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。
一部分是不用s[i - 1]来匹配，即考虑当前t子串的最后一位字母，不考虑t子串的最后一位字母，个数为dp[i - 1][j]。
例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s可以不用s[3]来匹配，也可以用s[3]来匹配，所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
- 当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，在s中删除这个元素，不用s[i - 1]来匹配，即：dp[i - 1][j]。所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
3、dp数组如何初始化
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
- dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。所以dp[i][0]=1。
- dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数，所以dp[0][j]=0
- 特殊位置了dp[0][0] =1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。
4、确定遍历顺序
从上到下，从左到右
5、举例推导dp数组
代码如下：
class Solution {
public int numDistinct(String s, String t) {
int[][] dp=new int[s.length()+1][t.length()+1];
for(int i=0;i<=s.length();i++){
dp[i][0]=1;
}
for(int i=1;i<=s.length();i++){
for(int j=1;j<=t.length();j++){
if(s.charAt(i-1)==t.charAt(j-1)) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];
else dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
return dp[s.length()][t.length()];
}
}
583. 两个字符串的删除操作
思路：与上一题的区别在于两个字符串都可以删除。dp数组的定义也需要改变。
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
2、确定递推公式
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，不用删除，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有两种情况：
情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
取最小值，dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1);
3、dp数组如何初始化
dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i，dp[0][j]同理。
4、确定遍历顺序
从上到下，从左到右
5、举例推导dp数组
代码如下：
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int[][] dp=new int[word1.length()+1][word2.length()+1];
for(int i=0;i<=word1.length();i++) dp[i][0]=i;
for(int j=0;j<=word2.length();j++) dp[0][j]=j;
for(int i=1;i<=word1.length();i++){
for(int j=1;j<=word2.length();j++){
if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)) dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
else dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1);
}
}
return dp[word1.length()][word2.length()];
}
}
72. 编辑距离
思路：这个题目比较复杂，考虑动规五部曲。
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
2、主要有两种情况。
- word1[i - 1] = word2[j - 1]，说明不用任何编辑，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
- word1[i - 1]! = word2[j - 1]，此时需要编辑。由于word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，所以只考虑删除元素和替换元素。
操作一：word1删除一个元素，即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
操作二：word2删除一个元素，即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同。所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
3、dp数组如何初始化
dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。所以dp[i][0]=i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i。同理dp[0][j] = j。
4、遍历顺序
从左到右从上到下遍历。
5、举例推导dp数组
代码如下：
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int[][] dp=new int[word1.length()+1][word2.length()+1];
for(int i=0;i<=word1.length();i++) dp[i][0]=i;
for(int j=0;j<=word2.length();j++) dp[0][j]=j;
for(int i=1;i<=word1.length();i++){
for(int j=1;j<=word2.length();j++){
if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)) dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
else dp[i][j]=Math.min(Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]),dp[i-1][j-1])+1;
}
}
return dp[word1.length()][word2.length()];
}
}