P3195 [HNOI2008] 玩具装箱

\(dp_i\) 表示前 \(i\) 个玩具的最小代价。

\(s_i=\sum_{j\le i} c_i+1\)。

设 \(L'=L+1\)。

\(dp_i=\min_{j<i}\{dp_j+(s_i-s_j-L')^2\}\)

\(dp_i-s_i'^2+2s_iL'=\min_{j<i}\{dp_j+(s_j'+L)^2-2s_is_j\}\)

\(b=y-kx\)

\(k\) 与 \(i\) 有关，对于 \(k_i\)，我们要找出一条过点 \((x,y)\) 的斜率为 \(k_i\) 的直线使得直线的截距最小，显然是凸包上的切点，而且是下凸包。因此我们维护下凸包。

因为 \(x\) 单调递增，用单调队列维护下凸包。因为 \(k\) 也是单调递增的，因此我们直接取合法的队首。

Code

#include<bits/stdc++.h>
// #define LOCAL
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const int N=5e4+6;
int c[N];
int n,L;
ll dp[N];
ll s[N];
struct node{
    ll x,y;
};
node que[N];
int l,r;
ld cal(node a,node b){
    return 1.0*(b.y-a.y)/(b.x-a.x);
}
int main(){
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("my.out","w",stdout);
    #endif
    sf("%d%d",&n,&L);
    rep(i,1,n) {
        sf("%d",&c[i]);
        s[i]=c[i]+s[i-1];
    }
    rep(i,1,n) s[i]+=i;
    L++;
    l=r=1;
    que[1]={0,1ll*L*L};
    rep(i,1,n){
        ld k=2*s[i];
        while(l<r&&k>=cal(que[l],que[l+1])){l++;}
        ll b=que[l].y-k*que[l].x;
        dp[i]=b+s[i]*s[i]-2*s[i]*L;
        ll x=s[i],y=dp[i]+(s[i]+L)*(s[i]+L);
        while(r>l&&cal({x,y},que[r])<=cal(que[r],que[r-1])) r--;
        que[++r]={x,y};
        // printf("%lld\n",dp[i]);
    }
    pf("%lld\n",dp[n]);
}