我们考虑所有编号为奇数的折痕，其形如 VMVMVM...，其中 V 表示下凹，M 为上凸。这个可以证明：
-
归纳证明。考虑第一个折痕，其在最后一次对折时产生，显然为
V。 -
假设前 \(2^c - 1\) 条奇数编号的折痕形如
VMVMVM...，第 \(2^c\) 条折痕会将前面这些折痕对称过去并取反（例如会在VMVMVMV末尾接上MVMVMVMV，变为VMVMVMVMVMVMVMV），因此前 \(2^{c+1} - 1\) 条奇数编号的折痕也满足这个结构。
类似的，我们可以推广这个结论：对于任意一个 \(c(0\le c\le 99)\)，拎出所有编号的 lowbit 为 \(2^b\) 的折痕，它们的结构形如 VMVMVM...。证明可以考虑忽略所有 lowbit 小于 \(2^c\) 的折痕，就是上面的结论。
接下来回到原问题，我们首先对 \(a_{1...n}\) 分类，分成奇数和偶数两类。
令 \(k\) 为 \(a_{1...n}\) 需要加的增量。如果 \(k\) 为奇数，则 \(a\) 中的偶数的贡献可以确定；如果 \(k\) 为偶数，则 \(a\) 中的奇数的贡献可以确定。
当 \(k\) 为偶数时，为了确定贡献是 \(0\) 还是 \(1\)，我们还需要对 \(\frac {k} 2\) 的奇偶性即 \(k \bmod 4 = 2\) 或 \(k \bmod 4 = 0\) 进行分类讨论。当 \(k \bmod 4 = 0\) 时，贡献为 \(\sum\limits_{i = 1} ^ n [a_i \bmod 4 = 3]\)；当 \(k \bmod 4 = 2\) 时，贡献为 \(\sum\limits_{i = 1} ^ n [a_i \bmod 4 = 1]\)。
设 \(f(a, u)\) 为对于给定的 \(a\) 序列，满足 \(k \bmod 2 = u\) 的答案。当 \(u = 0\) 即 \(k\) 为偶数时，我们还需要求所有偶数组成的序列答案，设 \(b\) 序列为 \(a\) 中所有偶数除以二组成的序列。注意有个隐性条件：当 \(k \bmod 4 = 0\) 时，从 \(f(b, 0)\) 处转移过来；当 \(k \bmod 4 = 2\) 时，从 \(f(b, 1)\) 处转移过来。
\(u = 1\) 的情况是类似的。当递归层数达到 \(\log_2 a\) 时可以直接返回，每个数至多被遍历 \(O(\log a)\) 次，时间复杂度 \(O(n\log a)\)。
- 启示：先观察必要的东西，找到必要的性质利于下一步，然后是这种二进制递归形式的 trick