【深度学习基础模型】径向基函数网络（Radial Basis Function Networks, RBFN）详细理解并附实现代码。

【深度学习基础模型】径向基函数网络（Radial Basis Function Networks, RBFN）

【深度学习基础模型】径向基函数网络（Radial Basis Function Networks, RBFN）

文章目录

• 【深度学习基础模型】径向基函数网络（Radial Basis Function Networks, RBFN）
• 1.算法原理介绍：径向基函数网络（Radial Basis Function Networks, RBFN）
• • 1.1 径向基函数网络 (RBFN) 概述
  • 1.2 网络结构
  • 1.3 径向基函数
  • 1.4 训练方法
  • 1.5 RBF网络的应用
• 2.Python实现RBF网络的应用实例
• • 2.1代码实现：RBF网络的实现及二分类应用
  • 2.2代码解释
• 3.总结

参考地址：https://www.asimovinstitute.org/neural-network-zoo/
论文地址：https://apps.dtic.mil/sti/pdfs/ADA196234.pdf

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1.算法原理介绍：径向基函数网络（Radial Basis Function Networks, RBFN）

1.1 径向基函数网络 (RBFN) 概述

径向基函数网络（RBFN）是一种特殊的前馈神经网络（FFNN），其隐藏层的激活函数为径向基函数。与传统的FFNN不同，RBFN在输入和隐藏层之间使用非线性变换，具体地，RBF激活函数根据输入与中心的距离计算响应，通常为高斯函数或其他径向对称的函数。RBFN在分类、回归和函数逼近任务中表现优异，尤其是对局部特征敏感的问题。

1.2 网络结构

RBF网络的结构通常包括以下三层：

• 输入层：输入数据直接传递到隐藏层，不进行任何处理。
• 隐藏层：每个神经元使用径向基函数来计算输入与预先定义的中心的距离。
• 输出层：通常是线性输出，表示隐藏层的加权和。

1.3 径向基函数

RBFN的核心是径向基函数，它根据输入与中心点之间的距离来决定输出。最常见的径向基函数是高斯函数，形式如下：

ϕ ( r ) = e − r 2 2 σ 2 ϕ(r)=e^{-\frac{r^2}{2σ^2}} ϕ(r)=e−2σ2r2​

其中：

• r r r 是输入 x x x 和中心 c c c 之间的欧氏距离 r = ∥ x − c ∥ r=∥x−c∥ r=∥x−c∥。
• σ σ σ 是控制函数扩展范围的参数。

1.4 训练方法

RBFN的训练包括两个步骤：

• 确定径向基函数的中心、宽度：通常通过聚类算法（如k-means）来选择中心点。
• 线性层权重的训练：可以通过最小二乘法或梯度下降法来学习线性层的权重。

1.5 RBF网络的应用

• 分类：RBFN可用于模式分类问题，尤其是在数据呈现出类簇分布的情况下，RBFN能通过径向基函数对局部区域敏感，提供较好的分类性能。
• 回归：RBFN常用于函数逼近问题，通过对输入空间的局部区域响应，可以实现高效的回归任务。
• 时间序列预测：由于RBFN对非线性问题的优良建模能力，它也常用于时间序列预测和动态系统控制。

2.Python实现RBF网络的应用实例

下面的代码使用Python和深度学习框架PyTorch实现了一个简单的RBF网络，用于解决分类问题（例如二分类任务）。

2.1代码实现：RBF网络的实现及二分类应用

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import numpy as np
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 定义RBF激活函数
class RBF(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, num_centers, sigma):
        super(RBF, self).__init__()
        self.num_centers = num_centers
        self.centers = nn.Parameter(torch.randn(num_centers, input_size))  # 随机初始化中心点
        self.sigma = sigma  # 高斯函数的宽度参数

    def forward(self, x):
        # 计算输入到每个中心点的欧氏距离
        expanded_input = x.unsqueeze(1).expand(-1, self.num_centers, -1)
        expanded_centers = self.centers.unsqueeze(0).expand(x.size(0), -1, -1)
        distances = torch.norm(expanded_input - expanded_centers, dim=2)
        # 通过高斯径向基函数计算输出
        return torch.exp(-distances ** 2 / (2 * self.sigma ** 2))

# 定义RBF网络
class RBFNetwork(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, num_centers, output_size, sigma):
        super(RBFNetwork, self).__init__()
        self.rbf = RBF(input_size, num_centers, sigma)  # RBF层
        self.linear = nn.Linear(num_centers, output_size)  # 线性层

    def forward(self, x):
        rbf_output = self.rbf(x)
        return self.linear(rbf_output)

# 创建数据集（使用scikit-learn生成的二分类数据集）
X, y = make_classification(n_samples=200, n_features=2, n_classes=2, n_clusters_per_class=1, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)

# 转换为Tensor
X_train = torch.tensor(X_train, dtype=torch.float32)
y_train = torch.tensor(y_train, dtype=torch.float32).view(-1, 1)
X_test = torch.tensor(X_test, dtype=torch.float32)
y_test = torch.tensor(y_test, dtype=torch.float32).view(-1, 1)

# 定义模型参数
input_size = X_train.shape[1]  # 输入特征数
num_centers = 10  # 径向基函数的中心数
output_size = 1  # 输出为1（用于二分类）
sigma = 1.0  # 高斯核宽度

# 创建RBF网络
model = RBFNetwork(input_size, num_centers, output_size, sigma)

# 定义损失函数和优化器
criterion = nn.BCEWithLogitsLoss()  # 二元交叉熵损失
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.01)

# 训练模型
epochs = 100
for epoch in range(epochs):
    optimizer.zero_grad()  # 梯度清零
    outputs = model(X_train)  # 前向传播
    loss = criterion(outputs, y_train)  # 计算损失
    loss.backward()  # 反向传播
    optimizer.step()  # 更新权重

    if (epoch+1) % 10 == 0:
        print(f'Epoch [{epoch+1}/{epochs}], Loss: {loss.item():.4f}')

# 测试模型
with torch.no_grad():
    test_outputs = model(X_test)
    predictions = torch.round(torch.sigmoid(test_outputs))
    accuracy = (predictions == y_test).float().mean()
    print(f'Accuracy: {accuracy.item():.4f}')

2.2代码解释

1.定义RBF激活函数：

class RBF(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, num_centers, sigma):
        super(RBF, self).__init__()
        self.centers = nn.Parameter(torch.randn(num_centers, input_size))
        self.sigma = sigma

• 在RBF类中，初始化了中心点和高斯核的宽度（sigma）。
• 每个中心点对应隐藏层中的一个神经元。

2.计算欧氏距离：

distances = torch.norm(expanded_input - expanded_centers, dim=2)

• 计算每个输入样本与各个中心点之间的距离，使用欧氏距离衡量输入与中心点的相似性。

3.RBF网络的前向传播：

rbf_output = self.rbf(x)
return self.linear(rbf_output)

• 通过RBF层计算隐藏层输出，然后通过线性层计算最终输出。

4.生成二分类数据集：

X, y = make_classification(n_samples=200, n_features=2, n_classes=2)

• 这里生成了一个二分类问题数据集，包含200个样本和2个特征。

5.训练与测试：

• 使用PyTorch内置的优化器和损失函数进行训练和优化。
• 训练结束后，使用测试集评估模型的准确性。

3.总结

径向基函数网络（RBFN）是一种特殊的前馈神经网络，使用径向基函数作为激活函数，使得网络能够对输入空间的局部区域敏感。RBF网络在分类、回归、时间序列预测等领域中有广泛的应用。通过PyTorch实现的RBF网络示例展示了RBFN在简单二分类问题中的应用。