[NOIP2017 普及组] 棋盘

题目背景

NOIP2017 普及组 T3

题目描述

有一个 \(m \times m\) 的棋盘，棋盘上每一个格子可能是红色、黄色或没有任何颜色的。你现在要从棋盘的最左上角走到棋盘的最右下角。

任何一个时刻，你所站在的位置必须是有颜色的（不能是无色的）， 你只能向上、下、左、右四个方向前进。当你从一个格子走向另一个格子时，如果两个格子的颜色相同，那你不需要花费金币；如果不同，则你需要花费 $1 $ 个金币。

另外， 你可以花费 \(2\) 个金币施展魔法让下一个无色格子暂时变为你指定的颜色。但这个魔法不能连续使用， 而且这个魔法的持续时间很短，也就是说，如果你使用了这个魔法，走到了这个暂时有颜色的格子上，你就不能继续使用魔法； 只有当你离开这个位置，走到一个本来就有颜色的格子上的时候，你才能继续使用这个魔法，而当你离开了这个位置（施展魔法使得变为有颜色的格子）时，这个格子恢复为无色。

现在你要从棋盘的最左上角，走到棋盘的最右下角，求花费的最少金币是多少？

输入格式

第一行包含两个正整数 $ m, n$，以一个空格分开，分别代表棋盘的大小，棋盘上有颜色的格子的数量。

接下来的 $ n $ 行，每行三个正整数 $ x, y, c$， 分别表示坐标为 \((x,y)\) 的格子有颜色 $ c$。

其中 $ c=1$ 代表黄色，$ c=0$ 代表红色。 相邻两个数之间用一个空格隔开。 棋盘左上角的坐标为 \((1, 1)\)，右下角的坐标为 \(( m, m)\)。

棋盘上其余的格子都是无色。保证棋盘的左上角，也就是 \((1, 1)\) 一定是有颜色的。

输出格式

一个整数，表示花费的金币的最小值，如果无法到达，输出 -1。

样例 #1

样例输入 #1

5 7
1 1 0
1 2 0
2 2 1
3 3 1
3 4 0
4 4 1
5 5 0

样例输出 #1

8

样例 #2

样例输入 #2

5 5
1 1 0
1 2 0
2 2 1
3 3 1
5 5 0

样例输出 #2

-1

提示

样例 1 说明

棋盘的颜色如下表格所示，其中空白的部分表示无色。

从 \((1,1)\) 开始，走到 \((1,2)\) 不花费金币。

从 \((1,2)\) 向下走到 \((2,2)\) 花费 \(1\) 枚金币。

从 \((2,2)\) 施展魔法，将 \((2,3)\) 变为黄色，花费 \(2\) 枚金币。

从 \((2,2)\) 走到 \((2,3)\) 不花费金币。

从 \((2,3)\) 走到 \((3,3)\) 不花费金币。

从 \((3,3)\) 走到 \((3,4)\) 花费 \(1\) 枚金币。

从 \((3,4)\) 走到 \((4,4)\) 花费 \(1\) 枚金币。

从 \((4,4)\) 施展魔法，将 \((4,5)\) 变为黄色，花费 $ 2$ 枚金币。

从 \((4,4)\) 走到 \((4,5)\) 不花费金币。

从 \((4,5)\) 走到 \((5,5)\) 花费 \(1\) 枚金币。

共花费 $8 $ 枚金币。

样例 2 说明

棋盘的颜色如下表格所示，其中空白的部分表示无色。

从 \(( 1, 1)\) 走到 \(( 1, 2)\)，不花费金币。

从 \(( 1, 2)\) 走到 \(( 2, 2)\)，花费 $ 1 $ 金币。

施展魔法将 \(( 2, 3)\) 变为黄色，并从 \(( 2, 2)\) 走到 \(( 2, 3)\) 花费 $ 2$ 金币。

从 \(( 2, 3)\) 走到 \(( 3, 3)\) 不花费金币。

从 \(( 3, 3)\) 只能施展魔法到达 \(( 3, 2),( 2, 3),( 3, 4),( 4, 3)\)。

而从以上四点均无法到达 \(( 5, 5)\)，故无法到达终点，输出\(-1\)。

数据规模与约定

对于 \(30\%\) 的数据，\(1 ≤ m ≤ 5, 1 ≤ n ≤ 10\)。

对于 \(60\%\) 的数据，\(1 ≤ m ≤ 20, 1 ≤ n ≤ 200\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 ≤ m ≤ 100, 1 ≤ n ≤ 1,000\)。

分享一个来自洛谷大佬https://www.luogu.com.cn/user/35871的代码，真的很厉害，有时候将问题转化一下，真的可以极大的简化问题

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f
template<typename Tp>
//快速读取
void read(Tp& x) {
    char c = getchar();
    x = 0;
    int f = 1;
    whiel(c < '0' && c>'9') {
        if (c == '_') {
            f = -1;
        }
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    x *= f;
}
struct node {
    int x, y, c, w;
    bool operator < (node a)const {
        return w > a.w;
    }
    //stl中优先队列默认优先取出最大值，所以要重载运算符，保证每次取出的都是代价最小的元素
};
priority_queue<node> q;
//将魔法操作当成两步来算，施展魔法跳过去，然后离开，由此多出八个方向，包括上下左右总共12个方向
int dx[] = { 0,1,0,-1,1,1,-1,-1,0,2,0,-2 };
int dy[] = { 1,0,-1,0,1,-1,1,-1,2,0,-2,0 };
int dw[] = { 0,0,0,0,2,2,2,2,2,2,2,2 };
int a[105][105], dis[105][105];
int n, m;
void bfs() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[1][1] = 0;
    node cur, nxt;
    while (!q.empty()) {
        cur = q.top(); //利用优先队列优先取出更短路
        q.pop();
        if (dis[cur.x][cur.y] < cur.w) continue;
        for (int i = 0; i < 12; i++) {
            nxt.x = cur.x + dx[i];
            nxt.y = cur.y + dy[i];
            if (nxt.x <= 0 || nxt.x > m || nxt.y <= 0 || nxt.y > m) continue;
            nxt.w = cur.w + dw[i];
            nxt.c = a[nxt.x][nxt.y];
            if (!nxt.c) continue; //只有两种情况，一是当只走一步时碰见空白格，其实可以等效为走两格，因为它迟早要离开，下一步只能走一格，二是走两格时碰见空白格，由于走两格时就使用了一次魔法，再碰到空白格就不可以走了，所以也是continue
            if (cur.c != nxt.c) nxt.w++;
            if (dis[nxt.x][nxt.y] > nxt.w) {
                dis[nxt.x][nxt.y] = nxt.w;
                q.push(nxt);
            }
        }
    }
}

int main() {
    int x, y, c;
    read(m); read(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        read(x), read(y), read(c);
        a[x][y] = c + 1;//利用c+1区别无颜色格子
        //c=0代表该格子无颜色
        //c=1代表该格子为红色
        //c=2代表该格子为黄色
    }
    bfs();
    //处理无色情况
    if (!a[m][m]) {
        //如果a[m][m]为无色，那么根据算法dis[m][m]是不会被更改的，还是inf，但实际上还是有可能到达的，所以需要单独处理下
        //如果与他相邻的位置均为无色，那么肯定到不了，如果有颜色则找到端短路，然后加上魔法使用的2
        int ans = min(dis[m - 1][m], dis[m][m - 1]) + 2;
        if (ans >= inf) {
            puts("-1");
        }
        else {
            printf("%d\n", ans);
        }
    }
    else {
        if (dis[m][m] == inf) {
            puts("-1");
        }
        else {
            printf("%d\n", dis[m][m]);
        }
    }
    return 0;
}