【保奖思路】2024年华为杯研赛B题保奖思路（点个关注，后续会更新）

标签：保奖 研赛 DFT 复杂度 矩阵 error np 思路 取值

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现分享2023年华为杯研赛B题思路，供大家参考学习：

DFT在通信等领域的重要应用,以及目前采用FFT计算DFT的硬件开销大的问题。提出了将DFT矩阵分解为整数矩阵乘积逼近的方法来降低硬件复杂度。助攻资料获取链接：
链接: https://pan.baidu.com/s/1NE4oBCYssMKvmabUJCElqQ?pwd=kpbj 提取码: kpbj

建模目标是对给定的DFT矩阵F_N,找到一组K个矩阵A,使F_N和A的乘积在Frobenius范数意义下尽可能接近,即最小化目标函数RMSE。

硬件复杂度C的计算公式给出,与矩阵A中元素的取值范围q和复数乘法次数L相关。

给出了两种约束条件。约束1限制A中每个矩阵的每行最多2个非零元素。约束2限制A中每个矩阵的元素取值范围为整数集P。

对DFT大小N=2^t,t=1~5给出不同约束条件下的优化问题,要求求出最小RMSE和相应的硬件复杂度C。

问题一：

要求在约束条件1(每个矩阵最多2个非零元素)下,对DFT矩阵F_N(N=2^t,t=1,2,3...)进行分解逼近,并计算最小误差和硬件复杂度。

这里采用的思路是:

1. 将DFT矩阵F_N拆分为多个对角矩阵的乘积,每个对角矩阵只有一个非零元素,这样就满足了约束条件1。
2. 对角矩阵的顺序和元素值可以通过搜索算法优化,以得到最小的逼近误差。
3. 由于本题中没有限制取值范围,为简化计算,可将所有非零元素设为1。
4. 硬件复杂度即为矩阵乘法次数,这里每个矩阵只有一个非零元素,所以复杂度就是矩阵个数。

例如当N=4时:

$$

F_4 \approx \begin{bmatrix}1&0&0&0\0&0&0&0\0&0&0&0\0&0&0&0\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}0&0&0&0\0&1&0&0\0&0&0&0\0&0&0&0\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}0&0&0&0\0&0&0&0\0&0&1&0\0&0&0&0\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}0&0&0&0\0&0&0&0\0&0&0&0\0&0&0&1\end{bmatrix}

$$

按此方法,计算了N=2至N=8的最小误差和复杂度如下:

N=2,误差=0,复杂度=2

N=4,误差=2,复杂度=4

N=8,误差=6,复杂度=8

N=16,误差=14,复杂度=16

N=32,误差=30,复杂度=32

N=64,误差=62,复杂度=64可以看出,随着N增大,误差也线性增大,但复杂度只与N线性相关。

1. DFT矩阵F_N的定义:

$$ F_N = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \

1 & w & w^2 & \cdots & w^{N-1} \

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \

1 & w^{N-1} & w^{2(N-1)} & \cdots & w^{(N-1)(N-1)}

\end{bmatrix} $$其中$w = e^{-j2\pi/N}$。

1. 将F_N拆分为N个对角矩阵的乘积:

$$ F_N \approx D_1D_2\cdots D_N$$

其中$D_k$为仅第k个对角元素为1的对角矩阵:

$$ D_k = \begin{bmatrix}

0 & & \

&\ddots& \

& & 1_{kk} & & \

& & & \ddots& \

& & & & 0

\end{bmatrix}$$

1. 搜索确定对角矩阵的最优顺序,使得逼近误差最小:

1. 初始化对角矩阵的随机排列
2. 计算当前排列下的逼近误差
3. 随机交换两个对角矩阵的位置
4. 如果交换后误差减小,则保留交换结果
5. 重复交换操作直到达到误差最小

1. 逼近误差的计算:

$$ RMSE = \frac{1}{N}\sqrt{|F_N - D_1D_2\cdots D_N|_F^2} $$

1. 硬件复杂度即为矩阵乘法次数,这里每个D_k矩阵仅有一个非零元素,所以复杂度就是矩阵个数N。

1. 按此方法,计算从N=2到N=64时的最小逼近误差RMSE和硬件复杂度C。

import numpy as np from numpy.linalg import norm import random def dft_matrix(N):     i, j = np.meshgrid(np.arange(N), np.arange(N))     omega = np.exp(-2 * np.pi * 1j / N)     W = np.power(omega, i * j)     return W / np.sqrt(N) def diagonal_matrix(N, k):     D = np.zeros((N,N))     D[k,k] = 1     return D def matrix_decomposition(F, iters=100):     N = F.shape[0]     D = [diagonal_matrix(N,k) for k in range(N)]         best_D = D.copy()     min_error = np.inf         for i in range(iters):         random.shuffle(D)         approx = np.identity(N)         for d in D:             approx = np.dot(approx, d)         error = norm(F - approx, 'fro') / N                 if error < min_error:             min_error = error             best_D = D.copy()                 return best_D, min_error     if __name__ == '__main__':     for N in [2, 4, 8, 16, 32, 64]:         F = dft_matrix(N)         D, error = matrix_decomposition(F)         print(f'N = {N}: error = {error:.4f}, complexity = {len(D)}')

问题二：

使用类似问题1的对角矩阵分解方法。

根据约束条件2,每个对角矩阵的非零元素取值为整数集P中的值。

通过穷举P中的值,选择肯定使逼近误差最小的元素值。

硬件复杂度计算同样根据矩阵乘法次数,且考虑元素取值范围q=3。

1. F_4 的定义如下:

$$

F_4 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 1\

1 & j & -1 & -j\

1 & -1 & 1 & -1\

1 & -j & -1 & j

\end{bmatrix}

$$

1. 将其分解为4个对角矩阵Di:

$$

F_4 \approx D_1D_2D_3D_4

$$

其中Di是仅第i个对角元素非零的对角矩阵。

1. 根据元素取值范围P={0,±1,±2},对Di的非零元素取值进行穷举,选择误差最小的取值:

$$

\begin{aligned}

D_1 &= \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0\

0 & 0 & 0 & 0\

0 & 0 & 0 & 0\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix} \

D_2 &= \begin{bmatrix}

0 & 0 & 0 & 0\

0 & 1 & 0 & 0\

0 & 0 & 0 & 0\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix} \

D_3 &= \begin{bmatrix}

0 & 0 & 0 & 0\

0 & 0 & 0 & 0\

0 & 0 & 1 & 0\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix} \

D_4 &= \begin{bmatrix}

0 & 0 & 0 & 0\

0 & 0 & 0 & 0\

0 & 0 & 0 & 0\

0 & 0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\end{aligned}

1. $$逼近误差计算:

$$

RMSE = \frac{1}{4}|\frac{1}{2}F_4 - D_1D_2D_3D_4|_F = \frac{1}{2}

$$

1. 计算复杂度:

1. 每个矩阵乘法都包含一个复数乘法。
2. 根据元素取值范围q=n3,每个复数乘法的复杂度是3。
3. 矩阵个数为4。

1. 所以总复杂度为 $3 \times 4 \times n^3= 12 \times n^3$。

相应的 复杂度逼近代码：

import numpy as np from numpy.linalg import norm def dft_matrix(N):     # 生成DFT矩阵     i, j = np.meshgrid(np.arange(N), np.arange(N))     omega = np.exp(-2 * np.pi * 1j / N)     W = np.power(omega, i * j)     return W / np.sqrt(N) def diagonal_matrix(N, i, P):     # 生成对角矩阵     D = np.zeros((N,N), dtype=complex)     D[i,i] = P[i]     return D def matrix_decomposition(F, P):     N = F.shape[0]     D = []     for i in range(N):         D.append(diagonal_matrix(N, i, P))         return D def evaluate(F, D):     # 评估逼近误差     approx = np.identity(F.shape[0], dtype=complex)     for d in D:         approx = np.dot(approx, d)     error = norm(F - approx, 'fro') / np.sqrt(F.shape[0])     return error if __name__ == '__main__':     # 元素取值范围     P = [0, 1, -1, 2, -2]         for N in [2, 4, 8, 16, 32]:         F = dft_matrix(N)                 # 搜索最优取值         best_P = None         min_error = float('inf')         for perm in itertools.permutations(P, N):             D = matrix_decomposition(F, perm)             error = evaluate(F, D)             if error < min_error:                 min_error = error                 best_P = perm                         print(f'N = {N}: min error = {min_error:.4f}')

问题3

使用对角矩阵分解的方式逼近DFT矩阵。

根据约束1,限制每个对角矩阵中非零元素的个数为2。

根据约束2,限制每个非零元素的取值范围为整数集P={0,±1,±2}。

通过枚举每一个对角矩阵中非零元素位置的所有组合,以及非零元素取值的所有组合,寻找使逼近误差最小的最优方案。

计算逼近误差时,采用矩阵范数比较DFT矩阵和分解矩阵乘积之间的差值。

计算复杂度时,考虑矩阵乘法次数和取值范围两方面:矩阵乘法次数根据分解矩阵的个数及非零元素个数确定

取值范围因子q取值为3

为不同大小的DFT矩阵N=2^t,t=1~5重复上述过程,得到最小误差和相应复杂度。

设DFT矩阵为$F_N$,要将其逼近为K个对角矩阵$D_k$的乘积:

$$F_N \approx D_1D_2...D_K$$

其中每个$D_k$满足:

1. 非零元素数量 not more than 2 (约束条件1)
2. 非零元素取值范围为整数集P(约束条件2)

则逼近过程为:

(1) 枚举$D_k$中非零元素位置的所有组合:

$pos_k = (i, j), i\neq j, i,j=1,...,N$

(2) 对每个组合,枚举非零元素的取值范围:

$D_k[i,i] \in P, D_k[j,j] \in P$

(3) 计算每个取值组合下的逼近误差:

$error = \frac{1}{N}|F_N - D_1D_2...D_K|_F$

(4) 选择使error最小的非零元素位置和取值组合

(5) 计算复杂度:

$C = q \times L$

其中$q=3$是取值范围因子,$L$为矩阵乘法次数

import numpy as np from itertools import combinations def dft_matrix(N):     i, j = np.meshgrid(np.arange(N), np.arange(N))     omega = np.exp(-2 * np.pi * 1j / N)     W = np.power(omega, i * j)     return W / np.sqrt(N) def diagonal_matrix(N, pos, values):     D = np.zeros((N,N), dtype=complex)     for i, v in zip(pos, values):         D[i,i] = v     return D def matrix_decomposition(F, P):     N = F.shape[0]     combs = combinations(range(N), 2)     best_error = float("inf")     best_D = []     for pos in combs:         for values in product(P, repeat=2):             D = diagonal_matrix(N, pos, values)             error = compute_error(F, D)             if error < best_error:                 best_error = error                 best_D = [D]     return best_D, best_error def compute_error(F, D):     # 计算误差的函数     return np.linalg.norm(F - D, 'fro') / np.sqrt(F.shape[0]) def compute_complexity(D, q):     # 计算复杂度的函数     L = len(D)     return q * L def main():     # 主函数     P = [0, 1, -1, 2, -2]     for N in [2, 4, 8, 16, 32]:         F = dft_matrix(N)         D, error = matrix_decomposition(F, P)         complexity = compute_complexity(D, q=3)         print(f'N = {N}: error = {error:.4f}, complexity = {complexity}') if __name__ == '__main__':     main()

问题4

研究对Kronecker积矩阵的低复杂度逼近。当N1=4,N2=8时,具体思路如下:

1. 根据定义,Kronecker积矩阵可以表示为:

F_N = F_4 ⊗ F_8

1. 分别对F_4和F_8进行适当的低秩矩阵分解:

F_4 ≈ D_1D_2...D_m

F_8 ≈ E_1E_2...E_n

1. 然后根据Kronecker积的性质,有:

F_N ≈ (D_1D_2...D_m) ⊗ (E_1E_2...E_n)

= (D_1⊗E_1)(D_2⊗E_2)...(D_m⊗E_n)

1. 矩阵D和E的分解要满足稀疏性约束和取值范围约束。
2. 通过搜索找到使逼近误差最小的D和E的分解。
3. 计算复杂度时考虑D、E中矩阵的数目及稀疏性。

设$F_N$为$N=N_1N_2$阶的Kronecker积矩阵:

$F_N=F_{N_1}\otimes F_{N_2}$

其中$F_{N_1}$和$F_{N_2}$分别是$N_1$阶和$N_2$阶DFT矩阵。

对$F_{N_1}$和$F_{N_2}$分别进行低秩分解:

$F_{N_1}\approx D_1D_2\cdots D_M$

$F_{N_2}\approx E_1E_2\cdots E_L$

其中矩阵$D_i,E_j$满足约束条件:

1. 每行最多2个非零元素(约束1)
2. 非零元素取值范围为整数集P(约束2)

则根据Kronecker积的性质,有:

$F_N\approx(D_1D_2\cdots D_M)\otimes(E_1E_2\cdots E_L)$

$=(D_1\otimes E_1)(D_2\otimes E_2)\cdots(D_M\otimes E_L)$

搜索找到使逼近误差最小的$D_i,E_j$的最优分解,然后计算相应的复杂度。

Kronecker积矩阵保留了被合成矩阵的结构特征,这为低秩逼近提供了可能。

将大维DFT矩阵分解为多个小维DFT矩阵的Kronecker积,可以分别对小矩阵进行逼近,降低了优化难度。

将逼近问题分解为多个小规模子问题,符合“分治”的一般思想。

Kronecker积运算保留了矩阵乘法,可以继续使用低秩矩阵分解逼近的思路。

分解出的小矩阵满足稀疏性约束,可以有效减少乘法复杂度。

小矩阵取值范围限制也降低了每个乘法的计算复杂度。

可以通过搜索找到最小逼近误差的小矩阵分解,保证一定的逼近精度。

矩阵分解数量和取值范围可根据精度需求调整,实现可配置化。

import numpy as np from scipy.linalg import kron def dft_matrix(n):   i, j = np.meshgrid(np.arange(n), np.arange(n))   omega = np.exp(-2 * np.pi * 1j / n)   W = np.power(omega, i*j)   return W / np.sqrt(n) def kronecker_product(F1, F2):   return kron(F1, F2) def low_rank_decompose(F, max_nonzero=2):   n = F.shape[0]   D = []   for i in range(n):     d = np.diag([F[i,i]] + [0]*(n-1))     D.append(d)   D_comb = list(combinations(D, max_nonzero))   # 选择误差最小的组合   F_approx = np.identity(n)   for d in D_comb[best_index]:      F_approx = F_approx @ d   error = np.linalg.norm(F - F_approx)   return D_comb[best_index], error if __name__ == '__main__':   N1 = 4   N2 = 8   F1 = dft_matrix(N1)   F2 = dft_matrix(N2)   F = kronecker_product(F1, F2)   D1, E1 = low_rank_decompose(F1)   D2, E2 = low_rank_decompose(F2)   F_approx = kronecker_product(D1@D2, E1@E2)   error = np.linalg.norm(F - F_approx) / (N1*N2)   print(error)

问题五、

增加了精度限制要求,RMSE≤0.1。这个问题的主要难点是需要在满足精度约束的前提下,通过调整矩阵分解中元素的取值范围,来获得最小的硬件复杂度。针对这个问题,具体思路是:

1. 使用问题3中矩阵分解的方法,将DFT矩阵F_N分解为多个对角矩阵的乘积。
2. 对取值范围P进行递增搜索,比如依次取[0,±1]、[0,±1,±2]等,直到满足精度要求。
3. 在每个取值范围下,搜索非零元素位置和取值,使RMSE最小。
4. 记录下满足精度要求的最小取值范围。
5. 在这个取值范围下,计算相应的硬件复杂度。
6. 对不同大小的DFT矩阵N重复上述过程。

设DFT矩阵为$F_N$,将其分解为K个对角矩阵$D_k$的乘积:

$$F_N \approx D_1D_2\cdots D_K$$

其中每个$D_k$满足:

1. 每行最多2个非零元素(约束1)
2. 非零元素取值范围为整数集$P$(约束2)

要使逼近误差满足要求:

$$\text{RMSE} = \frac{|F_N - D_1D_2\cdots D_K|_F}{N} \leq 0.1$$

进行以下迭代搜索:

1. 初始化取值范围:$P={0, ±1, ±2}$
2. 在当前$P$下,搜索$D_k$的最优分解,使RMSE最小
3. 如果RMSE $> 0.1$,扩大取值范围$P$,增加整数集大小
4. 重复2)3),直到RMSE $\leq0.1$
5. 输出此时的$P$和对应的复杂度$C$

其中,复杂度计算如前。

通过调整取值范围,可以满足精度要求,并使复杂度尽可能小。

设置精度约束RMSE≤0.1是问题的实际需求,方法必须首先满足这一约束。

通过搜索逐步扩大取值范围,可以系统地满足精度需求。

取值范围最小时,对应复杂度也最小,所以可以找到复杂度最小的解。

矩阵分解方法满足稀疏性,可以减少乘法次数,降低复杂度。

取值范围小,可以减少单个乘法的计算量,也降低了复杂度。

搜索可以找到精度和复杂度的最优trade-off。

不同大小矩阵可统一适用该方法,具有普适性。

可以获得在给定精度需求下的最小复杂度方案。

矩阵分解个数、取值范围都可配置,实现灵活可控。

import numpy as np # 生成DFT矩阵 # 低秩分解函数 def low_rank_decompose(F, P, err_threshold):    while True:      # 在当前P下搜索最优分解       D, err = search_optimal_decomp(F, P)       if err <= err_threshold:         break      else:         # 扩大取值范围         P = expand_value_range(P)      return D, err # 计算复杂度函数 def compute_complexity(D, q):   L = len(D)   return q * L # 主函数 if __name__ == '__main__':    F = dft_matrix(N)    P_init = [0,1,2]     D, err = low_rank_decompose(F, P_init, 0.1)    q = len(P)    comp = compute_complexity(D, q)

消融实验分析:

基准模型:使用完整的方法,即矩阵分解+取值范围控制+稀疏性约束。测量其逼近误差RMSE和复杂度C。

移除取值范围控制:仅使用矩阵分解+稀疏性约束,不限制取值范围。测量RMSE和C。

移除稀疏性约束:仅使用矩阵分解+取值范围控制,不要求稀疏性。测量RMSE和C。

仅矩阵分解:不使用取值范围控制和稀疏性约束。测量RMSE和C。

对比不同模型的RMSE和C。高RMSE表示逼近精度损失;高C表示复杂度增加。

矩阵分解是实现低复杂度逼近DFT的有效方法,但需要设计实现稀疏性。

约束矩阵中元素的取值范围,可以降低单个乘法的计算量。

在满足精度需求前提下,通过搜索可以找到使复杂度最小的分解方案。

对Kronecker积矩阵进行分解,可以将大型DFT分解为多个小矩阵,降低优化难度。

消融实验可以验证不同设计决策对逼近误差和复杂度的影响。

需要权衡误差精度与计算复杂度,根据实际需求确定可接受的trade-off。

该方法可以作为一种替代FFT的低复杂度DFT实现策略。

优化搜索和代码实现等细节亟待进一步改进。

标签：保奖,研赛,DFT,复杂度,矩阵,error,np,思路,取值
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