几何概率模型

一、几何概率模型

① 样本空间的样本点为无限个

② 每个样本点发生的可能性是均等的

③ P(A)=事件A的几何度量值/样本空间的几何度量值

说明：如果样本空间的样本点为有限个，则为古典概型

通过2个例子，来感受下两者的区别

① 例：在[1,4]区间内，任意取一个整数，求该整数＜2的概率

设：事件A为整数＜2

第1步：求样本空间 Ω的样本点个数{1,2,3,4} 为4个

第2步：求事件A的样本点个数{1}为1个

所以：P(A)=1/4=25%

② 例：在[1,4]区间内，任意取一个实数，求该实数＜2的概率

分析：实数在[1,4]区间内，是存在无限个的，也就是有数不尽的

设：事件A为实数<2

第1步：求样本空间Ω的样本点构成的区域长度{1_2_3_4}为3

第2步：求事件A的样本点构成的区域长度{1_2}为1

所以：P(A)=1/3≈33%

不难发现，样本空间为无限个的时候，计算事件A的概率：

是以几何度量的比值来计算的，这就是几何概型

比如：长度比值、面积比值、角度比值、体积比值

二、几何概型完整公式

事件构成的区域及度量值样本空间构成的区域及度量值长度面积角度体积等P(A)=事件A构成的区域及度量值样本空间构成的区域及度量值(长度/面积/角度/体积等)

*** 几何概型问题求解步骤 ****

① 开始：判断样本空间是为无限个

② 则：明确 Ω 的取点区域范围

③ 继：确定所求概率事件中点的区域范围 A

④ 继：计算Ω区域和A区域的几何度量值 Ωn,An

⑤ 终：计算所求问题的概率 P(A)=AnΩn

2.1 区域度量：长度相关的例子

例：有一根长度为3米的线，拉直后在任意位置剪断，剪得的两段长度都不＜1米的概率

设：事件A为剪得的两段长度都不＜1米

第1步：求样本空间构成的区域度量为：3米(长度)

第2步：求事件A的区域度量为：1米(长度)

通过画图分析得到，如下图

所以：P(A)=1/3≈33%

2.2 区域度量：面积相关的例子

例：有一射击靶，面积为0.3平米，其中靶心为0.1平方米，假设在靶内任意位置射击1次，求射中靶心的概率

设：事件A为击中靶心

第1步：求样本空间构成的区域度量为：0.3平米(面积)

第2步：求事件A的区域度量为：0.1平米(面积)

所以：P(A)=0.1/0.3=1/3≈33%

2.3 区域体积(容积)相关的例子

例：有一盆100ml的水中有一个A细胞，从中随机取出10ml放到显微镜下观察，求发现A细胞的概率

设：事件A为10ml水中发现A细胞

第1步：求样本空间构成的区域度量为：100ml（容积）

第2步：求事件A的区域度量为：10ml（容积）

所以：P(A)=10/100=10%

三、几个经典的问题

3.1 线段上投1个点

投1个点，有无数种可能，但1个点无法构成一个区域范围

所以是无法计算出概率的，同样的，在面积上投1个点同理

所以，在几何概型中，事件A发生的前提是存在一个定义好的区域范围

于是，可以发现：

概率为0，不代表事件不可能发生，是成立的！这条适用于：古典和几何概型

概率为1的事件，一定是必然事件，是成立的！这条适用于：古典概型

概率为1的事件，一定是必然事件，是不成立的！这条适用于：几何概型

3.2 求线段长度问题

类似的有：等公交，等红绿灯，等闹钟叫，等电话呼，等水烧开...

例：有一公交站台，平均每10分钟开出一班车，问小明到达站台后2分钟内能坐上车的概率

分析：时间的度量值，是可以无限细分的，也就是无限个数的

所以：是一个几何概型问题

设：事件A为小明到达站台后2分钟内能坐上车

第1步：求样本空间构成的区域度量为：10分钟

第2步：求事件A构成的区域度量为：2分钟

通过画图分析得到，如下图

所以：P(A)=2/10=1/5=20%

3.3 求阴影面积问题

类似的有：各种能否遇到或不遇到的问题，比如：会面问题、取报纸等，下例为不遇到问题

例：ABCD为长方形，AB=20cm，BC=10cm，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取1点

问：取到的点到O距离>10cm的概率

设：事件A为取到的A到O的距离>10cm

第1步：求样本空间Ω构成的区域：20×10=200平方厘米(面积)

第2步：求事件A构成的区域：长方形的面积-半圆的面积=200-157≈43平方厘米

通过画图分析得到，如下图

所以：P(A)≈43/200≈21.5%

3.5 蒲丰投针问题

大概是说：把针随机的投在一个区域内，得出了一个几何概率模型

印象里是：通过计算两个变量来确定事件A范围的，其中有一个是角度

有兴趣的可以搜一下看看~