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关于 wqs 二分的一言两语

时间:2024-09-13 17:23:59浏览次数:11  
标签:二分 一言两语 白色 wqs 斜率 我们 dp

感觉一个比较入门的题目是 P2619。你要求的是恰好有 \(need\) 条白色边的,这个很难表示,因为如果直接跑一遍 MST,你不能保证一定选了 \(need\) 条,有可能白色边“太好了”或者“太坏了”。

但是我们发现,如果白色边“越好”,就会尽可能选白色,反之亦然。也就是说如果我们增加一个费用:给所有白色边边权 \(+c\),设 \(f(c)\) 为加 \(c\) 后的 MST 有多少白色边,这样如果我们算出 \(f(c)\) 和 \(c\) 的图像:\(f(c)\) 随着 \(c\) 增大减少。这样,就可以二分了!

感觉这个就是 wqs 二分的一个“感性理解”。遇到“恰好 \(k\)” 这种限制,可以采用带权二分。

但是上述不是真正的 wqs 二分(嘻嘻)。看看这题 P6821

因为这一题是“至多 \(k\) 个”,所以我们 dp 时不仅要考虑能达到的最大值,还有达到最大值的最小段数。

在这题中,设 \(f(k)\) 为选恰到 \(k\) 个最大值,则我们可以发现 \(f(k)\) 是一个上凸包:感性理解,\(k\) 太小时,加一点更好,而我们贪心加最好的,所以一定越加越慢,而到达一定点,只能加负数了,就越减越快。理性证明可以用费用流。

这样我们就可以二分每一次分出一个子段的费用了!就变成了一个一维 dp。

总结一下,wqs 二分出现在段数/个数有 \(k,\le k,\ge k\) 这种限制时,并且他的功能是把一个二维 dp 优化成一个一维 dp。

有可能会有一个疑问,就是为什么“上凸”“下凸”这么重要?如果不是这种函数,还可以 wqs 二分吗?wqs 二分究竟是二分什么?

回到上一题,我们二分费用 \(c\) 的时候,求出来有费用的是 \(g(k)\)。真正的答案是 \(f(k)=g(k)+c\times k\)。那么我们发现 \(g(k)\) 就是过 \((k,f(k))\) 点斜率为 \(c\) 直线在 \(y\) 轴的截距。所以,我们二分的 \(c\) 其实是斜率,我们算出来的是被切点。

  • 为什么“上凸”“下凸”这么重要?

因为如果不是这样的,斜率就不是单调的了。

再来看一道题:P6246

和上一题差不多,我们发现是下凸函数。就省略 解法 了。但是会出现一个 wqs 二分经常遇到的问题,就是为啥是 -l*m 而不是 -l*cnt[n],即为啥不是剪掉/加上最优方案实际选的次数来乘。

这篇博客里面解释了。有一个很直观的图。其实这种问题就是凸包上面点共线的情况。而我们算出来的是截距。如果要求在 \(m\) 处的点的值,必须要减去/加上 \(m\) 乘上二分出来的斜率。

标签:二分,一言两语,白色,wqs,斜率,我们,dp
From: https://www.cnblogs.com/SFlyer/p/18412554

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