梯度下降法求最小值

 梯度：是一个向量         

例如： 

        给定一个初始值 x=5，这是一个一元函数，自变量有两个运动方向，向左和向右。向右边运动，越走越高，函数值在增加，这个方向被称为梯度方向；向左边运动，越走越低，函数值在减小这个方向为梯度的反方向。

        显然，要走到最低处，应该选择梯度的反方向。假设走了一段走到某处，再次对方向进行判断，继续朝着梯度的反方向移动，重复这个逻辑，不断朝着梯度的反方向运动，到达最低点附近。

        要想达到最低点，要考虑每一次移动多少：

        假设   ，梯度为 2x，起始点位置 x0=10，第一个移动的位置为 x1 等于 x0 减去其在 x0 处的梯度值，得到 x1=-10；第二次移动 x2 等于 x1 减去其在 x1 处的梯度值，得到 x2=10；同样 x3=-10, x4=10 ······。但是一直在10和-10之间振荡，并没有降低到最低点。

        为此需要一个参数来控制移动的距离，这个参数成为学习率(步长) 。

        上述过程的学习率 （图2）。

        如果将学习率调到1.05，多次迭代后不仅不会降低到最低点，甚至越走越高（图3）。而如果将学习率降低到较小的值，比如0.02，每次迭代后位置确实在降低，但降低的幅度比较小（图4）。如果将学习率调到0.2，迭代多次后基本就能降到最低处（图5）。因此完成梯度下降，需要选择合适的学习率，不能太大，也不能太小。

       时，每次迭代后，梯度值都在不断的下降。到第10次的时候降到了0.12，来到最最低点的附近（图6）。梯度为0时的位置，就是最低点的位置。因此选择较小的梯度值作为终止条件是比较自然的，比如希望最后的梯度值小于等于0.01，那么只需要迭代15次；小于等于0.001，就需要迭代19次。只要学习率选择的合适，梯度就可以下降到任意小。

代码：

lr = 0.2  # 学习率
n = 15  # 迭代的次数
x = 10  # 初始值
y = x ** 2  # 目标函数

x_list = []  # 记录每次迭代的x值
y_list = []  # 记录每次迭代的y值
x_list.append(x)
y_list.append(y)

print(f'初始值：   x0={x:.4f}   y0={x ** 2:.4f}')
# 梯度下降法求最小值
for i in range(n):
    i = i + 1
    x = x - lr * 2 * x
    y = x ** 2
    x_list.append(x)
    y_list.append(y)
    print(f'第{i}次迭代：x{i} = {x:.4f} y{i}={x ** 2:.4f}')

运行结果：