[NOIP 2024 模拟2]矩阵学说
题意
给出 \(n\) 行 \(m\) 列的矩阵，第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素为 \(a_{i,j}\)，找出满足以下条件的三元组 \((i, j, x)\) 的 数量：
- \(1 ≤ i ≤ n\), \(1 ≤ j \le m\), \(1 ≤ x ≤ \min(n − i + 1, m − j + 1)\)
- 矩阵的左上角 \((i, j)\) 到右下角 \((i + x − 1, j + x − 1)\) 恰好含 \(k\) 个不同的整数。
\(1\le a_{i,j} \le 100\) \(1\le n,m \le 2000\)
思路
考虑求出包含数的种类 \(\le k\) 的个数和 \(< k\) 的个数，相减得到答案。
枚举左上角，矩阵包含数的种类个数显然单调不递减，二分边长即可。
快速求区间数的种类可以用二维 ST 表加 bitset。
时间复杂度：\(O(nm\log \min(n,m))\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1505;
int n, m, k, a[N][N], lg[N];
bitset <100> st[N][N][12];
void init() {
lg[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i ++) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= m; j ++)
st[i][j][0][a[i][j] - 1] = 1;
for (int l = 1; l <= 14; l ++)
for (int i = 1; i <= n && i + (1 << l) - 1 <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= m && j + (1 << l) - 1 <= m; j ++)
st[i][j][l] = st[i][j][l - 1] | st[i + (1 << (l - 1))][j][l - 1] | st[i][j + (1 << (l - 1))][l - 1] | st[i + (1 << (l - 1))][j + (1 << (l - 1))][l - 1];
}
int query(int x, int y, int l) {
int K = lg[l];
int X = x + l - 1, Y = y + l - 1;
return (st[x][y][K] | st[X - (1 << K) + 1][Y - (1 << K) + 1][K] | st[X - (1 << K) + 1][y][K] | st[x][Y - (1 << K) + 1][K]).count();
return 0;
}
int calc(int num) {
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
for (int j = 1; j <= m; j ++) {
int l = 1, r = min(n - i + 1, m - j + 1), pos = 0;
while (l <= r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if (query(i, j, mid) <= num) pos = mid, l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
res += pos;
}
}
return res;
}
void solve() {
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= m; j ++)
cin >> a[i][j];
init();
cout << calc(k) - calc(k - 1) << "\n";
}
signed main() {
freopen("mar.in", "r", stdin);
freopen("mar.out", "w", stdout);
int Case = 1;
// cin >> Case;
while (Case --)
solve();
return 0;
}
/*
2 3 4
1 2 3
4 5 6
*/