Exercise2.6
In case representing pairs as procedures wasn't mind-boggling enough, consider that, in a language that can manipulate procedures, we can get by without numbers (at least insofar as nonnegative integers are concerned) by implementing 0 and the operation of adding 1 as
(define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))
(define (add-1 n)
(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))
This representation is known as $Church numerals$, after its inventor, Alonzo Church, the logician who invented the λ calculus.
Define one and two directly (not in terms of zero and add-1). (Hint: Use substitution to evaluate(add-1 zero)). Give a direct definition of the addition procedure + (not in terms of repeated application of add-1).
这个题太难理解了，题目里的两个函数，zero 我搞明白了，也勉强能接受它跟 0 的作用相同，但是我始终理解不了为啥 add-1 的作用是加一，明明是
(f x)啊。
; 任何数加 0 都等于它本身。所以,表示 0 的函数，无论你给它传入什么函数 f 和参数 x，它都直接返回 x，相当于什么都不做。
; (lambda (f) ...) 定义了一个匿名函数，它接受一个函数 f 作为参数，并返回 (lambda (x) x)。
; (lambda (x) x) 定义了另一个匿名函数，它接受一个参数 x,并直接返回 x。
; 组合起来:zero 函数本质上就是一个恒等函数，无论你给它传入什么函数 f，它都会返回一个新的函数，这个新函数会直接返回它的输入 x。
; 这符合我们对 0 的理解————任何数加 0 等于它本身。
(define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))
; 1. 把 (lambda (x) (square x)) 传给 zero 作为参数，返回新的函数 (lambda (x) x)
; 2. 再把 10 传给 (lambda (x) x)，得到原数 10
(display ((zero (lambda (x) (square x))) 10)) ; 输出是 10
(newline)
; n 必须是 Church Numeral，比如说上面定义的 zero
; 返回值是一个新的 Church Numeral，表示的值为 n + 1
(define (add-1 n)
(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))
(display (((add-1 zero) square) 10)) ; 输出是 100
(newline)
; 1. 先用 f1 表示匿名函数 (lambda (x) (+ x 1))，则原式变为 ((zero f1) 0)
; 2. 把 zero 函数用它的定义替代，得到 (((lambda (f) (lambda (x) x)) f1) 0)
; 3. 把 f1 带入到 zero 的返回值函数，得到 ((lambda (x) x) 0)
; 4. (lambda (x) x) 函数会返回传入的参数，也就是0
((zero (lambda (x) (+ x 1))) 0) ; 输出是 0
; 1. 把 zero 作为参数传入，得到 (lambda (f) (lambda (x) (f ((zero f) x))))
; 2. 先处理 (zero f)，根据上面我们对 zero 函数的分析，无论传入什么函数作为参数，它都返回 (lambda (x) x)
; 3. 则 ((zero f) x) 就是 x，(lambda (f) (lambda (x) (f x)))，也就是无论传入什么 f 和 x，都会返回 (f x)
(define one (add-1 zero))
; 根据上面的分析，下面的程序相当于执行 ((lambda (x) (+ x 1)) 0), 也就是 0 + 1
((one (lambda (x) (+ x 1))) 0) ; 输出是 1
; 1. 把 one 作为参数传入，得到 (lambda (f) (lambda (x) (f ((one f) x))))
; 2. 根据上面的分析，((one f) x) 会返回 (f x)
; 3. 所以下面的函数无论传入什么 f 和 x，都会返回 (f (f x))
(define two (add-1 one))
; 根据上面的分析,下面的程序相当于执行 ((lambda (x) (+ x 1)) ((lambda (x) (+ x 1)) 0)), 也就是 ((0 + 1) + 1)
((two (lambda (x) (+ x 1))) 0) ; 输出是 2
; 以此类推，可以用如下方式直接定义 one, two, three
(define new-one (lambda (f) (lambda (x) (f x))))
(define new-two (lambda (f) (lambda (x) (f (f x)))))
(define three (lambda (f) (lambda (x) (f (f (f x))))))
; 虽然不理解为啥 add-1 可以表示加一，但是按照上面的规律，加法可以按下面的函数来定义
(define (add a b)
(lambda (f)
(lambda (x) ((a f) ((b f) x)))))
; 下面的程序相当于 ((two square) (square 2))
; 进一步替代得到 (square (square (square 2)))
(((add two one) square) 2) ; 输出是 256
; 执行结果
10
100
0
1
2
256