数据结构-堆-详解
1.性质
堆是一种特殊的完全二叉树，其父节点总是不大于/不小于 子节点。
相比于普通二叉树，堆更适合用顺序结构的数组存储。
大根堆
其中任一父节点都不小于子节点。
逻辑结构：
储存结构：
小根堆
其中任一父节点都不大于子节点。
逻辑结构：
储存结构：
2.实现
2.1struct Heap、HeapInit、HeapDestroy
堆的结构体、堆的初始化、堆的销毁。
从上面的大小根堆可以看出，堆在实现上是一个顺序表，而逻辑上是二叉树。
因此，这几步与顺序表几乎完全一致：
typedef int HeapDataType;
typedef struct Heap
{
HeapDataType* a;
int size;
int capacity;
}Heap;
void HeapInit(Heap* php)
{
assert(php);
php->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * 4);
if (!php->a)
{
perror("HeapInit::malloc");
return;
}
php->size = 0;
php->capacity = 4;
}
void HeapDestroy(Heap* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->capacity = php->size = 0;
}
2.2HeapPush
插入元素。
void HeapPush(Heap* php, HeapDataType x)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)realloc(php->a,sizeof(HeapDataType) * php->capacity * 2);
if (!tmp)
{
perror("HeapDataType::realloc");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity *= 2;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
AdjustUp(php->a,php->size-1);
}
先判断是否需要扩容，再插入。
但这是个堆，因此需要对数据进行调整。
此处以大根堆为例，使用向上调整法AdjustUp。
AdjustUp
大根堆需要满足其中任一父节点都不小于子节点。
当插入一个节点后，可以将其与父节点比较，不满足条件则交换，最多调到根。
void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{
assert(a);
int parent = (child - 1) / 2;
while (parent >= 0)
{
if (a[child] > a[parent])
Swap(a + child, a + parent);
else
break;
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
}//有小bug
由公式得：父节点下标parent = (child - 1) / 2。
进入循环：
- 如果不满足条件，则交换
Swap。
void Swap(HeapDataType* a,HeapDataType* b)
{
assert(a && b);
HeapDataType tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
这里又封装了一个函数，因为这部分需要用到交换的地方还挺多的。
- 如果满足条件，由于堆的性质，可直接
break结束循环。
一个小bug:需注意的是循环结束条件parent >= 0，当运行时，会发现程序能跑，没出问题。
但可以分析一下：如果child已经为根，即child == 0，算一下parent：(0 - 1)/2 = 0。
下图的情景出现了！
当然，这里的bug是能改的，用child作为判断条件即可：
//while (parent >= 0)
while(child>0)
2.3HeapPop
删除堆顶元素。
堆顶元素为堆的最大/小值，因此，删除堆顶元素才具有一定意义。
挪动删除，
是不行的：
两个原因：
- 效率低下
- 父子关系被打乱
正确方法：
void HeapPop(Heap* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
Swap(php->a, php->a + php->size - 1);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
这里，先将最前的与最后的交换(Swap)，
然后删除最后一个元素(size--),
最后，向下调整(AdjustDown)。
AdjustDown
void AdjustDown(HeapDataType* a, int n, int parent)
{
assert(a);
int child = parent * 2 + 1;
while (child < n)
{
if ((child + 1) < n && a[child] < a[child + 1])
child++;
if (a[parent] < a[child])
Swap(a + parent, a + child);
else
break;
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
}
这里传了三个参数，其中parent为需要调整的父节点的位置，此处传0。
while循环，会在child下标小于堆大小n的情况下继续执行，这表示还有子节点存在。
由于是大根堆，向下调整时，先选出子节点中的较大值，再与父节点比较，满足则break出循环，不满足条件则交换，继续循环。
2.4HeapTop、HeapSize、HeapEmpty
取堆顶元素、堆的大小、判空。
HeapDataType HeapTop(Heap* php)
{
assert(php);
return php->a[0];
}
int HeapSize(Heap* php)
{
assert(php);
return php->size;
}
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}
3.应用
3.1堆排
即使用堆进行排序。
给一个数组，要使用堆排，前提是必须有个堆，因此第一步为建堆。
那么，建大堆还是小堆？怎么建堆？
建什么堆，这里有个规律：
- 升序建大堆
- 降序建小堆
如何建堆，有两种方法：
- 使用向上调整法，插入建堆
- 使用向下调整法，调整建堆
建堆
向上调整法：
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
for (int i = 0; i < n; i++)
{
AdjustUp(a, i);
}
//排序
}
向下调整法：
使用向下调整法建堆，需满足左、右子树必须是堆。
随便给的数组肯定不能满足此条件，因此不能从根节点开始建堆，需要找倒数第一个非叶子节点：
叶节点是堆，空节点也是堆，因此，从第一个非叶子节点开始使用向下调整法，不断调整直到根节点。
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
//排序
}
在实际使用中，通常使用向下调整法建堆，因为向上调整法的时间复杂度为O(N*logN)，而向下调整法的时间复杂度为O(N)。
排序
这里使用的是堆删除的思想来排序。
现在假设排升序，并且已经建好了一个大堆：
Pop一下，最大的就跑最后去了，然后重复此过程，就能排成升序。
这也验证了：
- 升序建大堆
- 降序建小堆
完整代码：
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
//排序
int size = n;
while (size--)
{
Swap(a, a + size);
AdjustDown(a, size, 0);
}
}
3.2TopK问题
即在很多数中找出最… 的K个 数。
这里的很多一般是真的很多，因此不能在对全部数据进行排序，因为浪费空间。
解决方法是用这些数的前K个建个堆，在将其余满足条件的数插入堆中。
建堆：
- 求最大，建小堆
- 求最小，建大堆
插入：
依次将其余的数与堆顶的数进行比较，根据需要进行替换，最后堆中的K个数即为所求。
希望本篇文章对你有所帮助！并激发你进一步探索数据结构的兴趣！
本人仅是个C语言初学者，如果你有任何疑问或建议，欢迎随时留言讨论！让我们一起学习，共同进步！
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