在数据分析和机器学习的广阔天地中，降维技术占据着举足轻重的地位。当我们面对高维数据时，不仅计算成本高昂，而且容易遭遇“维度灾难”，即随着维度的增加，数据的稀疏性和距离度量失效等问题愈发严重。为了克服这些挑战，各种降维技术应运而生，其中奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）便是一种强大而优雅的工具。本文将带您踏上一段使用SVD进行降维的奇妙之旅。
什么是SVD？
SVD是一种在信号处理、统计学、机器学习等多个领域广泛应用的数学方法。它将一个任意形状的矩阵分解为三个特定形状的矩阵的乘积：一个正交矩阵、一个对角矩阵（其元素称为奇异值）和另一个正交矩阵的转置。这种分解方式不仅揭示了矩阵的内部结构，还为我们提供了一种有效的降维手段。
公式表示
对于任意m×n矩阵A，其SVD可以表示为：
A=UΣVT
其中，U是m×m的正交矩阵，Σ是m×n的矩形对角矩阵（非零元素为奇异值，按从大到小排列），V是n×n的正交矩阵。
SVD在降维中的应用
在降维场景下，SVD通过保留矩阵A中最重要的特征（即最大的奇异值对应的特征向量）来减少数据的维度。具体来说，我们可以通过选择Σ中最大的k个奇异值（k<min(m,n)）以及它们对应的U和V中的列来近似原矩阵A，从而实现降维。
步骤概览
- 计算SVD：首先，对原始数据矩阵A进行SVD分解。
- 选择奇异值：根据实际需求选择前k个最大的奇异值。
- 构建降维矩阵：利用选定的奇异值及其对应的U和V中的列，构建降维后的矩阵。
- 解释与应用：分析降维后的数据，应用于后续的数据分析或机器学习任务中。
import numpy as np
from scipy.linalg import svd
# 假设A是你的原始数据矩阵
A = np.random.rand(m, n) # 示例：生成一个m行n列的随机矩阵
# 计算SVD
U, s, VT = svd(A, full_matrices=False) # full_matrices=False表示不计算完整的U和VT
Sigma = np.diag(s) # 将奇异值向量s转换为对角矩阵Sigma奇异点：
k = 5 # 假设我们想要降维到5维
s_k = s[:k] # 选择前k个最大的奇异值
U_k = U[:, :k] # 选择U中与这k个奇异值对应的列
VT_k = VT[:k, :] # 注意：这里实际上应该选择VT的前k行，因为VT是V的转置
# 但由于我们通常与U一起工作来重建降维后的数据，所以VT_k在直接降维中可能不直接使用优点与局限
- 优点：
- 高效性：SVD提供了一种快速且有效的降维方法。
- 保留关键信息：通过保留最大的奇异值，能够较好地保留数据的主要特征。
- 广泛适用性：适用于各种类型的数据，无需对数据分布做过多假设。
- 局限：
- 计算复杂度：对于非常大的矩阵，SVD的计算可能相对耗时。
- 解释性：降维后的数据维度可能不如原始数据直观，解释起来需要一定的背景知识。
实践案例
import numpy as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
def pic_compress(k, pic_array):
# 计算SVD
u, sigma, vt = np.linalg.svd(pic_array, full_matrices=False)
# 构建压缩后的Sigma矩阵
sig = np.diag(sigma[:k])
# 重构压缩后的图像
# 注意：这里使用vt[:k, :]的转置来与u[:, :k]相乘
new_pic = np.dot(u[:, :k], np.dot(sig, vt[:k, :].T))
# 计算压缩后的图像大小（这里只是示例，实际节省取决于数据类型和存储方式）
# 假设每个元素是float64类型，每个元素占用8字节
original_size = pic_array.nbytes
compressed_size = u[:, :k].nbytes + sig.nbytes + vt[:k, :].nbytes
return new_pic, original_size, compressed_size
# 加载图像并转换为灰度图
img = Image.open('lufei.jpg').convert('L')
ori_img = np.array(img)
# 进行图像压缩
k = 100
new_img, original_size, compressed_size = pic_compress(k, ori_img)
# 显示结果
print(f"Original size: {original_size} bytes")
print(f"Compressed size: {compressed_size} bytes")
print(f"Compression ratio: {original_size / compressed_size:.2f}")
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6))
ax[0].imshow(ori_img, cmap='gray')
ax[0].set_title("Before Compression")
ax[0].axis('off')
ax[1].imshow(new_img, cmap='gray')
ax[1].set_title("After Compression")
ax[1].axis('off')
plt.show()注意
- 在实际应用中，选择
k的值是一个重要的步骤，它需要根据数据的特性和任务的需求来确定。 - SVD降维特别适用于那些可以表示为矩阵形式的数据，如文本数据的TF-IDF矩阵、图像数据的像素矩阵等。
- 除了SVD之外，还有其他降维技术，如PCA（主成分分析），它在某些情况下与SVD密切相关（特别是在数据已经中心化的情况下）。PCA是SVD在数据协方差矩阵上的应用，但它通常更直接地关注于数据的方差最大化。