一、prim算法精讲
解题思路
最小生成树是所有节点的最小连通子图， 即：以最小的成本（边的权值）将图中所有节点链接到一起。
图中有n个节点，那么一定可以用 n - 1 条边将所有节点连接到一起。
那么如何选择 这 n-1 条边 就是 最小生成树算法的任务所在。
例如本题示例中的无向有权图为：
那么在这个图中，如何选取 n-1 条边 使得 图中所有节点连接到一起，并且边的权值和最小呢？
（图中为n为7，即7个节点，那么只需要 n-1 即 6条边就可以讲所有顶点连接到一起）
prim算法 是从节点的角度 采用贪心的策略 每次寻找距离 最小生成树最近的节点 并加入到最小生成树中。（prim算法是使用贪心策略，让小树长大的算法）
prim算法核心就是三步，我称为prim三部曲，大家一定要熟悉这三步，代码相对会好些很多：
- 第一步，选距离生成树最近节点
- 第二步，最近节点加入生成树
- 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
在prim算法中，有一个数组特别重要，这里起名为：minDist。
刚刚我有讲过 “每次寻找距离 最小生成树最近的节点 并加入到最小生成树中”，那么如何寻找距离最小生成树最近的节点呢？
这就用到了 minDist 数组， 它用来作什么呢？
minDist数组 用来记录 每一个节点距离最小生成树的最近距离。
1 初始状态
minDist 数组 里的数值初始化为 最大数，因为本题 节点距离不会超过 10000，所以 初始化最大数为 10001就可以。
相信这里录友就要问了，为什么这么做？
现在 还没有最小生成树，默认每个节点距离最小生成树是最大的，这样后面我们在比较的时候，发现更近的距离，才能更新到 minDist 数组上。
如图：
开始构造最小生成树
2
1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
选择距离最小生成树最近的节点，加入到最小生成树，刚开始还没有最小生成树，所以随便选一个节点加入就好（因为每一个节点一定会在最小生成树里，所以随便选一个就好），那我们选择节点1 （符合遍历数组的习惯，第一个遍历的也是节点1）
2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树
此时 节点1 已经算最小生成树的节点。
3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
接下来，我们要更新所有节点距离最小生成树的距离，如图：
注意下标0，我们就不管它了，下标 1 与节点 1 对应，这样可以避免大家把节点搞混。
此时所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1）的距离都已经跟新了 。
- 节点2 与 节点1 的距离为1，比原先的 距离值10001小，所以更新minDist[2]。
- 节点3 和 节点1 的距离为1，比原先的 距离值10001小，所以更新minDist[3]。
- 节点5 和 节点1 的距离为2，比原先的 距离值10001小，所以更新minDist[5]。
注意图中我标记了 minDist数组里更新的权值，是哪两个节点之间的权值，例如 minDist[2] =1 ，这个 1 是 节点1 与 节点2 之间的连线，清楚这一点对最后我们记录 最小生成树的权值总和很重要。
（我在后面依然会不断重复 prim三部曲，可能基础好的录友会感觉有点啰嗦，但也是让大家感觉这三部曲求解的过程）
3
1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
选取一个距离 最小生成树（节点1） 最近的非生成树里的节点，节点2，3，5 距离 最小生成树（节点1） 最近，选节点 2（其实选 节点3或者节点2都可以，距离一样的）加入最小生成树。
2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树
此时 节点1 和 节点2，已经算最小生成树的节点。
3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
接下来，我们要更新节点距离最小生成树的距离，如图：
此时所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2）的距离都已经跟新了 。
- 节点3 和 节点2 的距离为2，和原先的距离值1 小，所以不用更新。
- 节点4 和 节点2 的距离为2，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[4]。
- 节点5 和 节点2 的距离为10001（不连接），所以不用更新。
- 节点6 和 节点2 的距离为1，比原先的距离值10001小，所以更新minDist[6]。
4
1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
选择一个距离 最小生成树（节点1、节点2） 最近的非生成树里的节点，节点3，6 距离 最小生成树（节点1、节点2） 最近，选节点3 （选节点6也可以，距离一样）加入最小生成树。
2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树
此时 节点1 、节点2 、节点3 算是最小生成树的节点。
3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图：
所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3 ）的距离都已经跟新了 。
- 节点 4 和 节点 3的距离为 1，和原先的距离值 2 小，所以更新minDist[4]为1。
上面为什么我们只比较 节点4 和 节点3 的距离呢？
因为节点3加入 最小生成树后，非 生成树节点 只有 节点 4 和 节点3是链接的，所以需要重新更新一下 节点4距离最小生成树的距离，其他节点距离最小生成树的距离 都不变。（即 更新新加入节点的非生成树上的邻接点 与 生成树的距离即可）
5
1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
继续选择一个距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3） 最近的非生成树里的节点，为了巩固大家对 minDist数组的理解，这里我再啰嗦一遍：
minDist数组 是记录了 所有非生成树节点距离生成树的最小距离，所以 从数组里我们能看出来，非生成树节点 4 和 节点 6 距离 生成树最近。
任选一个加入生成树，我们选 节点4（选节点6也行） 。
注意，我们根据 minDist数组，选取距离 生成树 最近的节点 加入生成树，那么 minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值（我在图中把权值对应的是哪两个节点也标记出来了）。
如果大家不理解，可以跟着我们下面的讲解，看 minDist数组的变化， minDist数组 里记录的权值对应的哪条边。
理解这一点很重要，因为 最后我们要求 最小生成树里所有边的权值和。
2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树
此时 节点1、节点2、节点3、节点4 算是 最小生成树的节点。
3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图：
minDist数组已经更新了 所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 ）的距离 。
- 节点 5 和 节点 4的距离为 1，和原先的距离值 2 小，所以更新minDist[5]为1。
6
1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
继续选距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 ）最近的非生成树里的节点，只有 节点 5 和 节点6。
选节点5 （选节点6也可以）加入 生成树。
2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树
节点1、节点2、节点3、节点4、节点5 算是 最小生成树的节点。
3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图：
minDist数组已经更新了 所有非生成树的节点距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5）的距离 。
- 节点 6 和 节点 5 距离为 2，比原先的距离值 1 大，所以不更新
- 节点 7 和 节点 5 距离为 1，比原先的距离值 10001小，更新 minDist[7]
7
1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
继续选距离 最小生成树（节点1、节点2、节点3、节点4 、节点5）最近的非生成树里的节点，只有 节点 6 和 节点7。
2、prim三部曲，第二步：最近节点加入生成树
选节点6 （选节点7也行，距离一样的）加入生成树。
3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
节点1、节点2、节点3、节点4、节点5、节点6 算是 最小生成树的节点 ，接下来更新节点距离最小生成树的距离，如图：
这里就不在重复描述了，大家类推，最后，节点7加入生成树，如图：
最后
最后我们就生成了一个 最小生成树， 绿色的边将所有节点链接到一起，并且 保证权值是最小的，因为我们在更新 minDist 数组的时候，都是选距离 最小生成树最近的点 加入到树中。
讲解上面的模拟过程的时候，我已经强调多次 minDist数组 是记录了 所有非生成树节点距离生成树的最小距离。
最后，minDist数组 也就是记录的是最小生成树所有边的权值。
我在图中，特别把 每条边的权值对应的是哪两个节点 标记出来（例如minDist[7] = 1，对应的是节点5 和 节点7之间的边，而不是 节点6 和 节点7），为了就是让大家清楚， minDist里的每一个值 对应的是哪条边。
那么我们要求最小生成树里边的权值总和 就是 把 最后的 minDist 数组 累加一起。
以下代码，我对 prim三部曲，做了重点注释，大家根据这三步，就可以 透彻理解prim。
#include<iostream>
#include<vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int v, e;
int x, y, k;
cin >> v >> e;
// 填一个默认最大值，题目描述val最大为10000
vector<vector<int>> grid(v + 1, vector<int>(v + 1, 10001));
while (e--) {
cin >> x >> y >> k;
// 因为是双向图，所以两个方向都要填上
grid[x][y] = k;
grid[y][x] = k;
}
// 所有节点到最小生成树的最小距离
vector<int> minDist(v + 1, 10001);
// 这个节点是否在树里
vector<bool> isInTree(v + 1, false);
// 我们只需要循环 n-1次，建立 n - 1条边，就可以把n个节点的图连在一起
for (int i = 1; i < v; i++) {
// 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
int cur = -1; // 选中哪个节点 加入最小生成树
int minVal = INT_MAX;
for (int j = 1; j <= v; j++) { // 1 - v，顶点编号，这里下标从1开始
// 选取最小生成树节点的条件：
// （1）不在最小生成树里
// （2）距离最小生成树最近的节点
if (!isInTree[j] && minDist[j] < minVal) {
minVal = minDist[j];
cur = j;
}
}
// 2、prim三部曲，第二步：最近节点（cur）加入生成树
isInTree[cur] = true;
// 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
// cur节点加入之后， 最小生成树加入了新的节点，那么所有节点到 最小生成树的距离（即minDist数组）需要更新一下
// 由于cur节点是新加入到最小生成树，那么只需要关心与 cur 相连的 非生成树节点 的距离 是否比 原来 非生成树节点到生成树节点的距离更小了呢
for (int j = 1; j <= v; j++) {
// 更新的条件：
// （1）节点是 非生成树里的节点
// （2）与cur相连的某节点的权值 比 该某节点距离最小生成树的距离小
// 很多录友看到自己 就想不明白什么意思，其实就是 cur 是新加入 最小生成树的节点，那么 所有非生成树的节点距离生成树节点的最近距离 由于 cur的新加入，需要更新一下数据了
if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
minDist[j] = grid[cur][j];
}
}
}
// 统计结果
int result = 0;
for (int i = 2; i <= v; i++) { // 不计第一个顶点，因为统计的是边的权值，v个节点有 v-1条边
result += minDist[i];
}
cout << result << endl;
}
java代码如下：
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int numOfV = scanner.nextInt();
int numOfE = scanner.nextInt();
int[][] grid = new int[numOfV+1][numOfV+1];
//初始化图
for(int i = 0 ; i < grid.length ; i++){
Arrays.fill(grid[i],10001);
}
//读入图
for(int i = 1 ; i <= numOfE ; i++){
int from = scanner.nextInt();
int to = scanner.nextInt();
int val = scanner.nextInt();
grid[from][to] = val;
grid[to][from] = val;
}
int[] minDist = new int[numOfV+1];//记录各个节点距离最小生成树的最小距离
Arrays.fill(minDist,10001);
boolean[] isInTree = new boolean[numOfV+1];
//把节点1先添加进最小生成树里
isInTree[1] = true;
for(int i = 2 ; i <= numOfV ; i++){
minDist[i] = grid[1][i];
}
minDist[1] = 0;
//prim算法主循环
for(int i = 1 ; i < numOfV ; i++){
int minValue = Integer.MAX_VALUE;
int curNode = -1;
//找到当前不在树里，里树最近的节点
for(int j = 1 ; j <= numOfV ; j++){
if(!isInTree[j] && minValue > minDist[j]){
curNode = j;
minValue = minDist[j];
}
}
//curNode 是下一个要加入的结点
isInTree[curNode] = true;
//遍历curNode 的所有不在树中的邻接点，更新minDist
for(int k = 1 ; k <= numOfV ; k++){
if(!isInTree[k] && minDist[k] > grid[curNode][k]){
minDist[k] = grid[curNode][k];
}
}
}
//统计结果
int result = 0;
for(int i = 1 ; i <= numOfV ; i++){
result += minDist[i];
}
System.out.println(result);
}
}拓展
上面讲解的是记录了最小生成树 所有边的权值，如果让打印出来 最小生成树的每条边呢？ 或者说 要把这个最小生成树画出来呢？
此时我们就需要把 最小生成树里每一条边记录下来。
此时有两个问题：
- 1、用什么结构来记录
- 2、如何记录
如果记录边，其实就是记录两个节点就可以，两个节点连成一条边。
如何记录两个节点呢？
我们使用一维数组就可以记录。 parent[节点编号] = 节点编号， 这样就把一条边记录下来了。（当然如果节点编号非常大，可以考虑使用map）
使用一维数组记录是有向边，不过我们这里不需要记录方向，所以只关注两条边是连接的就行。
parent数组初始化代码：
vector<int> parent(v + 1, -1);接下来就是第二个问题，如何记录？
我们再来回顾一下 prim三部曲，
- 第一步，选距离生成树最近节点
- 第二步，最近节点加入生成树
- 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
大家先思考一下，我们是在第几步，可以记录 最小生成树的边呢？
在本面上半篇 我们讲解过：“我们根据 minDist数组，选组距离 生成树 最近的节点 加入生成树，那么 minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值。”
既然 minDist数组 记录了 最小生成树的边，是不是就是在更新 minDist数组 的时候，去更新parent数组来记录一下对应的边呢。
所以 在 prim三部曲中的第三步，更新 parent数组，代码如下：
for (int j = 1; j <= v; j++) {
if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
minDist[j] = grid[cur][j];
parent[j] = cur; // 记录最小生成树的边 （注意数组指向的顺序很重要）
}
}代码中注释中，我强调了 数组指向的顺序很重要。 因为不少录友在这里会写成这样： parent[cur] = j 。
这里估计大家会疑惑了，parent[节点编号A] = 节点编号B， 就表示A 和 B 相连，我们这里就不用在意方向，代码中 为什么 只能 parent[j] = cur 而不能 parent[cur] = j 这么写呢？
如果写成 parent[cur] = j，在 for 循环中，有多个 j 满足要求， 那么 parent[cur] 就会被反复覆盖，因为 cur 是一个固定值。
举个例子，cur = 1， 在 for循环中，可能 就 j = 2， j = 3，j =4 都符合条件，那么本来应该记录 节点1 与 节点 2、节点3、节点4相连的。
如果 parent[cur] = j 这么写，最后更新的逻辑是 parent[1] = 2, parent[1] = 3， parent[1] = 4， 最后只能记录 节点1 与节点 4 相连，其他相连情况都被覆盖了。
如果这么写 parent[j] = cur， 那就是 parent[2] = 1, parent[3] = 1， parent[4] = 1 ，这样 才能完整表示出 节点1 与 其他节点都是链接的，才没有被覆盖。
主要问题也是我们使用了一维数组来记录。
如果是二维数组，来记录两个点链接，例如 parent[节点编号A][节点编号B] = 1 ，parent[节点编号B][节点编号A] = 1，来表示 节点A 与 节点B 相连，那就没有上面说的这个注意事项了，当然这么做的话，就是多开辟的内存空间。
以下是输出最小生成树边的代码，不算最后输出， 就额外添加了两行代码，我都注释标记了：
#include<iostream>
#include<vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int v, e;
int x, y, k;
cin >> v >> e;
vector<vector<int>> grid(v + 1, vector<int>(v + 1, 10001));
while (e--) {
cin >> x >> y >> k;
grid[x][y] = k;
grid[y][x] = k;
}
vector<int> minDist(v + 1, 10001);
vector<bool> isInTree(v + 1, false);
//加上初始化
vector<int> parent(v + 1, -1);
for (int i = 1; i < v; i++) {
int cur = -1;
int minVal = INT_MAX;
for (int j = 1; j <= v; j++) {
if (!isInTree[j] && minDist[j] < minVal) {
minVal = minDist[j];
cur = j;
}
}
isInTree[cur] = true;
for (int j = 1; j <= v; j++) {
if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
minDist[j] = grid[cur][j];
parent[j] = cur; // 记录边
}
}
}
// 输出 最小生成树边的链接情况
for (int i = 1; i <= v; i++) {
cout << i << "->" << parent[i] << endl;
}
}
按照本题示例，代码输入如下：
1->-1
2->1
3->1
4->3
5->4
6->2
7->5 注意，这里是无向图，我在输出上添加了箭头仅仅是为了方便大家看出是边的意思。
大家可以和我们本题最后生成的最小生成树的图 去对比一下 边的链接情况：
绿色的边 是最小生成树，和我们的 输出完全一致。
总结
此时就把prim算法讲解完毕了，我们再来回顾一下。
关于 prim算法，首先做好初始化和数据结构准备，minDist和grid均初始化成一个相当大的值，然后选取1个节点先放入生成树，并据此初始化minDist，然后进行prim算法三部曲：
- 第一步，选距离生成树最近节点
- 第二步，最近节点加入生成树
- 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
大家只要理解这三部曲， prim算法 至少是可以写出一个框架出来，然后在慢慢补充细节，这样不至于 自己在写prim的时候 两眼一抹黑 完全凭感觉去写。 这也为什么很多录友感觉 prim算法比较难，而且每次学会来，隔一段时间 又不会写了，主要是 没有一个纲领。
理解这三部曲之后，更重要的 就是理解 minDist数组。
minDist数组 是prim算法的灵魂，它帮助 prim算法完成最重要的一步，就是如何找到 距离最小生成树最近的点。
再来帮大家回顾 minDist数组 的含义：记录 每一个节点距离最小生成树的最近距离。
理解 minDist数组 ，至少大家看prim算法的代码不会懵。
也正是 因为 minDist数组 的作用，我们根据 minDist数组，选取距离 生成树 最近的节点 加入生成树，那么 minDist数组里记录的其实也是 最小生成树的边的权值。
所以我们求 最小生成树的权值和 就是 计算后的 minDist数组 数值总和。
最后我们拓展了如何求 最小生成树 的每一条边，其实 添加的代码很简单，主要是理解 为什么使用 parent数组 来记录边 以及 在哪里 更新parent数组。
同时，因为使用一维数组，数组的下标和数组 如何赋值很重要，不要搞反，导致结果被覆盖。
二、kruskal算法精讲
解题思路
本部分讲解另一个算法：Kruskal，同样可以求最小生成树。
prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合。
（prim算法是贪心策略让一棵小树长大，Kruskal是贪心策略每次取最小且不成环的边）
kruscal的思路：
- 边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
- 遍历排序后的边
- 如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环
- 如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合
下面我们画图举例说明kruscal的工作过程。
依然以示例中，如下这个图来举例。
将图中的边按照权值有小到大排序，这样从贪心的角度来说，优先选 权值小的边加入到 最小生成树中。
排序后的边顺序为[(1,2) (4,5) (1,3) (2,6) (3,4) (6,7) (5,7) (1,5) (3,2) (2,4) (5,6)]
(1,2) 表示节点1 与 节点2 之间的边。权值相同的边，先后顺序无所谓。
开始从头遍历排序后的边。
选边(1,2)，节点1 和 节点2 不在同一个集合，所以生成树可以添加边(1,2)，并将 节点1，节点2 放在同一个集合。
选边(4,5)，节点4 和 节点 5 不在同一个集合，生成树可以添加边(4,5) ，并将节点4，节点5 放到同一个集合。
大家判断两个节点是否在同一个集合，就看图中两个节点是否有绿色的粗线连着就行
（这里在强调一下，以下选边是按照上面排序好的边的数组来选择的）
选边(1,3)，节点1 和 节点3 不在同一个集合，生成树添加边(1,3)，并将节点1，节点3 放到同一个集合。
选边(2,6)，节点2 和 节点6 不在同一个集合，生成树添加边(2,6)，并将节点2，节点6 放到同一个集合。
选边(3,4)，节点3 和 节点4 不在同一个集合，生成树添加边(3,4)，并将节点3，节点4 放到同一个集合。
选边(6,7)，节点6 和 节点7 不在同一个集合，生成树添加边(6,7)，并将 节点6，节点7 放到同一个集合。
选边(5,7)，节点5 和 节点7 在同一个集合，不做计算。
选边(1,5)，两个节点在同一个集合，不做计算。
后面遍历 边(3,2)，(2,4)，(5,6) 同理，都因两个节点已经在同一集合，不做计算。
此时 我们就已经生成了一个最小生成树，即：
在上面的讲解中，看图的话 大家知道如何判断 两个节点 是否在同一个集合（是否有绿色的线连在一起），以及如何把两个节点加入集合（就在图中把两个节点连上）
但在代码中，如果将两个节点加入同一个集合，又如何判断两个节点是否在同一个集合呢？
这里就涉及到我们之前讲解的并查集。
我们在并查集开篇的时候就讲了，并查集主要就两个功能：
- 将两个元素添加到一个集合中
- 判断两个元素在不在同一个集合
大家发现这正好符合 Kruskal算法的需求，这也是为什么 我要先讲并查集，再讲 Kruskal。
关于 并查集，我已经在并查集精讲 详细讲解过了，所以这里不再赘述，我们直接用。
代码如下：
import java.util.*;
import java.util.List;
class Edge{
int value;
int l;
int r;
Edge(int l , int r , int value){
this.l = l;
this.r = r;
this.value = value;
}
}
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int numOfV = scanner.nextInt();
int numOfE = scanner.nextInt();
List<Edge> edges = new ArrayList<>();
for(int i = 0 ; i < numOfE ; i++){
int l = scanner.nextInt();
int r = scanner.nextInt();
int value = scanner.nextInt();
edges.add(new Edge(l,r,value));
}
edges.sort(Comparator.comparingInt(edge->edge.value));
int result = 0;
List<Edge> Tree = new ArrayList<>();
UnionFind unionFind = new UnionFind(numOfV + 1);
for(int i = 0 ; i < numOfE ; i++){
if(Tree.size() == numOfV - 1){
break;
}
Edge edge = edges.get(i);
if(!unionFind.isSame(edge.l,edge.r)){
unionFind.join(edge.l,edge.r);
result += edge.value;
Tree.add(edge);
}
}
System.out.println(result);
}
}
class UnionFind {
private int[] parent;
public UnionFind(int size){
parent = new int[size];
init();
}
public void init(){
for(int i = 0 ; i < parent.length ; i++){
parent[i] = i;
}
}
public int find(int u){
if( u != parent[u]){
parent[u] = find(parent[u]);//路径压缩
}
return parent[u];
}
public boolean isSame(int u , int v){
return find(u) == find(v);
}
public void join(int u , int v){
int rootU = find(u);
int rootV = find(v);
if(rootU != rootV){
parent[rootV] = rootU;
}
}
}
拓展一
求最小生成树具体有哪些边。
在遍历判断是否将下一条边加入最小生成树的时候，记录下来加入的边即可。
拓展二
此时我们已经讲完了 Kruskal 和 prim 两个解法来求最小生成树。
什么情况用哪个算法更合适呢。
Kruskal 与 prim 的关键区别在于，prim维护的是节点的集合，而 Kruskal 维护的是边的集合。 如果 一个图中，节点多，但边相对较少，那么使用Kruskal 更优。
有录友可能疑惑，一个图里怎么可能节点多，边却少呢？
节点未必一定要连着边那， 例如 这个图，大家能明显感受到边没有那么多对吧，但节点数量 和 上述我们讲的例子是一样的。
为什么边少的话，使用 Kruskal 更优呢？
因为 Kruskal 是对边进行排序的后 进行操作是否加入到最小生成树。
边如果少，那么遍历操作的次数就少。
在节点数量固定的情况下，图中的边越少，Kruskal 需要遍历的边也就越少。
而 prim 算法是对节点进行操作的，节点数量越少，prim算法效率就越优。
所以在 稀疏图中，用Kruskal更优。 在稠密图中，用prim算法更优。
边数量较少为稀疏图，接近或等于完全图（所有节点皆相连）为稠密图
Prim 算法 时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量，它的运行效率和图中边树无关，适用稠密图。
Kruskal算法 时间复杂度 为 ElogE，其中E 为边的数量，适用稀疏图。
总结
如果学过了并查集，其实 kruskal 比 prim更好理解一些。
标签：26,int,随想录,最小,距离,生成,minDist,节点,刷题 From： https://blog.csdn.net/Renas_TJOvO/article/details/141888146