AMC 12 2021 Fall Test B
T7
这个东西我应该是初一学的，叫当时好像叫他完美公式，现在忘掉了！
很好推：\(2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\)。有这个公式就很好选了。
T10
easy 题，但是我漏了一种，小丑行为。不要看到 \(\sin 40^\circ\) 就害怕，显然这些点都在单位圆上，用初中学过的“两圆一线”可以轻松算出答案。
T14
构造题？！首先根据代数基本定理，不可能有 \(0\) 个根。考虑构造 \(1\) 个根的情况。
\[\begin{align*} P(z)&=z^2+1, \\ Q(z)&=z^3+2, \\ R(z)&=(z+1)^6 + P(z) \cdot Q(z). \end{align*} \]此时满足 \((z+1)^6=0\)，必须有 \(z=-1\)。好高妙啊。
T16
看起来是数论题，但是直接手算是可以的。首先发现 \(\gcd\) 没有偶数，然后发现 \(9\) 只有三种：\(1+1+7\)，\(1+3+5\) 和 \(3+3+3\)，每种算一下就行了。
T17
OI 选手最擅长的应该还是概率期望题。这个比较简单，其实是一个矩阵乘法的形式，一般写出递推式就行了。
T18
题还可以。首先很好算出收敛的值时 \(\dfrac{1}{2}\)。然后考虑题目给的式子，所以理所当然写出 \(b_n=a_n-\dfrac12\)，那么有 \(a_n=b_n+\dfrac12\)。带回原式子可以得到 \(b_{n+1}=-2b_n^2\)，这个东西的分母相比是指数型变化的，容易发现 \(10\) 次就足以到达 \(2^{1000}\)。
T19
手摸了小数据，然后猜了结论对了！\(a\) 边形和 \(b\) 边形相交的点数是 \(2\min(a,b)\)。证明其实也没有很难，考虑 \(a<b\)，先放置一个 \(a\) 边形，在放 \(b\) 变形的时候，对 \(a\) 的每一条边，都会进去 \(1\) 次再出来 \(1\) 次。所以必然是正确的。
T20
看起来是组合数学，结果是图论 or Burside。感觉考场上碰到像我这样的人还是没有优势，无语了！
有一种拓扑等价的理解方法，但是我不大会。可以考虑枚举，画成这样的图有利于理解：
也可以 Burnside Lemma，但是我不会！
T21
我认为这道题做不出来最主要问题是以前背的三角函数公式忘光光了。这里简单列一点，回顾一下。
三倍角公式：
\[\sin 3x=3\sin x -4\sin^3 x \]\[\cos 3x=-3\cos x +4\cos^3 x \]三倍角公式的变形：（也许不用背，可以现场推，但是要熟悉这个形式）
\[\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x \]\[\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x \]回到这道题，容易发现虚部为 \(0\)，可以得到 \(\sin x+\sin 3x=\sin 2x\)。然后我就不会了。事实上左边的形式可以直接带进去，得到 \(2\sin 2x\cos x=\sin 2x\)，那么要么 \(\sin 2x=0\)，要么 \(2 \cos x=1\)。带进实部检验都不正确，所以没有根。
T23
期望题对于 OIer 应该直接拿下！随便拆拆贡献就好了吧。
T24
算了半天，感觉速度完全起不来。首先初中就学过，给定一个三角形的三边长，你可以算出任何一个高。这很显然，但是我做着做着又忘了！sol 好像都是相似，但是我是纯全等和一些计算。首先导角啊，发现 \(AC=AF\)，此时得到了 \(BF=9\)，那么求 \(CF\) 事实上解个三角形就行了，但是我又看了半天，还以为要导个相似。没手感了！！
标签：cos,题选,公式,AMC,2x,3x,简单,sin From： https://www.cnblogs.com/irty/p/16823127.html