二叉苹果树

题目描述

有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分二叉（就是说没有只有一个儿子的结点）

这棵树共有 \(N\) 个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为 \(1 \sim N\)，树根编号一定是 \(1\)。

我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有 \(4\) 个树枝的树：

2   5
 \ / 
  3   4
   \ /
    1

现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。

给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

输入格式

第一行 \(2\) 个整数 \(N\) 和 \(Q\)，分别表示表示树的结点数，和要保留的树枝数量。

接下来 \(N-1\) 行，每行 \(3\) 个整数，描述一根树枝的信息：前 \(2\) 个数是它连接的结点的编号，第 \(3\) 个数是这根树枝上苹果的数量。

输出格式

一个数，最多能留住的苹果的数量。

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1 3 1
1 4 10
2 3 20
3 5 20

样例输出 #1

21

提示

\(1 \leqslant Q < N \leqslant 100\)，每根树枝上的苹果 \(\leqslant 3 \times 10^4\)。

解析

显然我们可以用DP解决，其中一维状态是树的节点，因为题目对保留的树枝有限制，所以我们还要设一维状态记录保留的树枝数量，每个节点要么没有儿子，要么就有两个儿子，所以我们枚举保留的树枝数量，将其分配给两个子树中，方程还是比较好写的，这里不放出来了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
int n, q, f[N][N], sz[N], lc[N], rc[N], l[N], r[N];
int tot, head[N], nxt[N << 1], to[N << 1], edge[N << 1];
void add(int u, int v, int w) {
	nxt[++ tot] = head[u]; head[u] = tot;
	to[tot] = v; edge[tot] = w;
}
void dfs(int u, int fa) {
	sz[u] = 1;
	for (int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
		int v = to[i];
		if (v == fa) continue;
		if (lc[u]) {rc[u] = v; r[u] = edge[i];}
		else {lc[u] = v; l[u] = edge[i];}
		dfs(v, u); sz[u] += sz[v];
	}
	for (int i = 1; i < sz[u]; i ++) {
		f[u][i] = max(f[u][i], max(f[lc[u]][i - 1] + l[u], f[rc[u]][i - 1] + r[u]));
		if (i >= 2) {
			for (int k = 0; k <= i - 2; k ++)
				f[u][i] = max(f[u][i], f[lc[u]][k] + f[rc[u]][i - k - 2] + l[u] + r[u]);
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &q);
	for (int i = 1; i < n; i ++) {
		int u, v, w; scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
		add(u, v, w), add(v, u, w);
	}
	dfs(1, 0);
	printf("%d\n", f[1][q]);
	return 0;
}