剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

一、题目

　　写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
示例 2：

输入：n = 5
输出：5
 

提示：

0 <= n <= 100

二、分析与代码

　　使用最朴素的递归会超时，因此可以考虑其他方法。

　　（1）动态规划：边界条件是0和1，转移方程为：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。但是时间复杂度和空间复杂度都是O（n）.

class Solution {
    public int fib(int n) {
        int[] dp = new int [111];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2])%1000000007;
        }
        return dp[n];
    }
}

　　时间复杂度：O(n)，循环n次，每次只做一个操作。

　　空间复杂度：O(n)，循环n次，每一次都要存储算到的和。

　　（2）F(n) 只和 F(n-1)F(n−1) 与 F(n-2)F(n−2) 有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<2) return n;
        int p=0,q=0,s=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            p=q;
            q=s;
            s=(p+q)%1000000007;
        }
        return s;
    }
}

　　时间复杂度：O(n)

　　空间复杂度：O(1)，只需p,q,s三个额外空间。