Description
给定一个包含 \(n\) 个结点和 \(m\) 条带权边的无向连通图 \(G=(V,E)\)。
再给定包含 \(k\) 个结点的点集 \(S\)，选出 \(G\) 的子图 \(G'=(V',E')\)，使得：
-
\(S\subseteq V'\)；
-
\(G'\) 为连通图；
-
\(E'\) 中所有边的权值和最小。
你只需要求出 \(E'\) 中所有边的权值和。
\(1\leq n\leq 100,\ \ 1\leq m\leq 500,\ \ 1\leq k\leq 10,\ \ 1\leq u,v\leq n,\ \ 1\leq w\leq 10^6\)。
Solution
求出的图一定是树，因为如果有环删掉环边一定更优。
假设已经求出了这个树，那么对于树上的每个点 \(u\)，可以记录 \(S\) 表示 \(u\) 的子树出现的关键点集合。利用这个集合可以在图上模拟选树的儿子的过程。
设 \(f_{i,S}\) 表示图上与 \(i\) 连通的树包含 \(S\) 集合对应的关键点的最小边权和，可以得到两种转移：
- \(i\) 在树上的儿子有 \(\geq 2\) 个或者 \(i\) 为关键点，则儿子的集合一定小于 \(S\) 且互不相交，所以可以直接枚举儿子的集合然后求并就是答案。
- \(i\) 在树上只有一个儿子且 \(i\) 不为关键点，转移一定形如 \(f_{i,S}\leftarrow f_{j,S}+w\)，跑 dijkstra 即可。
对于第一种转移实现上有一些细节，如果每次是先枚举 \(S\) 和 \(i\) 再枚举 \(i\) 的邻域的状态合并，这样单次就是 \(O(3^{|S|})\)。正确做法是直接让 \(f_{i,S}\leftarrow f_{i,S-T}+f_{i,T}\)，因为 \(<S\) 的答案已经确定。这样做转移一的总时间复杂度就是 \(O(3^kn)\) 了。
容易发现这么 dp 不会出现不合法的情况，并且最优解一定会被算到。
时间复杂度：\(O(3^kn+2^km\log m)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
// #define int int64_t
const int kMaxN = 105, kMaxS = (1 << 10);
int n, m, k;
int f[kMaxN][kMaxS], id[kMaxN];
std::vector<std::pair<int, int>> G[kMaxN];
void dijkstra(int s) {
static bool vis[kMaxN];
std::priority_queue<std::pair<int, int>> q;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
q.emplace(-f[i][s], i), vis[i] = 0;
for (; !q.empty();) {
int u = q.top().second; q.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = 1;
for (auto [v, w] : G[u]) {
if (f[v][s] > f[u][s] + w) {
f[v][s] = f[u][s] + w;
q.emplace(-f[v][s], v);
}
}
}
}
void solve() {
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i][id[i] ? (1 << (id[i] - 1)) : 0] = 0;
for (int s = 0; s < (1 << k); ++s) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int t = s; t; t = (t - 1) & s)
f[i][s] = std::min(f[i][s], f[i][s ^ t] + f[i][t]);
}
dijkstra(s);
}
}
void dickdreamer() {
std::cin >> n >> m >> k;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int u, v, w;
std::cin >> u >> v >> w;
G[u].emplace_back(v, w), G[v].emplace_back(u, w);
}
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
int x;
std::cin >> x;
id[x] = i;
}
solve();
int ans = 1e9;
for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = std::min(ans, f[i][(1 << k) - 1]);
std::cout << ans << '\n';
}
int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
int T = 1;
// std::cin >> T;
while (T--) dickdreamer();
// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
return 0;
}