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目录- 1.数据预处理
- 2.模糊评价法（主观）(not recommended)
- 3.层次分析法（主观）(not recommended)
- 4.PCA主成分分析法（客观）
- 5.Topsis方法（客观）
- 6.灰色关联分析法（客观）
1.数据预处理
1.1 区分指标的属性
- 正向指标
- 负向指标
- 中间型指标
- 区间型指标
1.2 指标正向化
1.2.1 负向指标
负向指标的正向化方法，又称为指标反转方法，是指将原本反映负面情况的指标转换为反映正面情况的指标，以便于比较及分析。该方法广泛应用于评估指标、市场研究、数据分析等领域。
具体来说，负向指标的正向化方法可以分为以下几个步骤：
- 确定要进行正向化的指标
- 确定负向指标需要进行什么样的正向化，常见的方法包括倒数、对数、绝对值等
- 进行指标正向化的计算公式，根据不同的正向化方法而定
- 对正向化后的指标进行归一化处理，使其可比较性更强
下面介绍一种负向指标的正向化方法。
对于一组负向指标数据：
$$
y_{1},y_{2},...,y_{n}
$$
取出最大值：
$$
y_{max}=\max\left { y_{1},y_{2},...,y_{n} \right }
$$
然后利用这个值逐个更新$y_{i}$ ：
$$
y_{i}:=y_{max}-y_{i}
$$
1.2.2 中间指标
中间型指标是指指标的值不要太小也不要太大，取某个特定值最好，如水体的ph值最好为7。下面介绍一种中间型指标的正向化方法：
对于一组中间型指标数据：
$$
y_{1},y_{2},...,y_{n}
$$
先拟定一个最优值：
$$
y_{best}
$$
然后计算这组数据中每个数据到这个最优值的距离,取出最大的那个：
$$
M=\max\left { \left | y_{1} -y_{best}\right |, \left | y_{2} -y_{best}\right | , ... , \left | y_{n} -y_{best}\right | \right }
$$
然后利用这个值逐个更新$y_{i}$：
$$
y_{i}:=1-\frac{ \left | y_{i} -y_{best}\right | }{ M }
$$
1.2.3 区间指标
区间型指标是指，指标值落在某个区间最好，例如，人的体温在$36{\circ}C$到$37C$最好。下面介绍一种区间型指标的正向化方法：
对于一组区间型指标数据：
$$
y_{1},y_{2},...,y_{n}
$$
先拟定一个最优区间：
$$
\left( a,b \right)
$$
取出这组数据的最大值和最小值：
$$
y_{max}=\max\left { y_{1},y_{2},...,y_{n} \right } ,
y_{min}=\min\left { y_{1},y_{2},...,y_{n} \right }
$$
然后计算一个值$M$：
$$
M=\max\left { a-y_{min},y_{max}-b \right }
$$
然后用如下公式逐个更新$y_{i}$：
$$
y_{i}:=
\left{\begin{matrix}
1-\frac{a-y_{i}}{a-y_{min}},y_{min} \le y_{i} < a \
1,a \le y_{i} \le b \
1-\frac{y_{i}-b}{y_{max}-b},b < y_{i} \le y_{max}
\end{matrix}\right.
$$
用如下这个梯形图表示更为直观：
1.3 标准化
1.3.1 Z-score 标准化
对于样本 $X$ 中的每个特征:
$$
X_{normalized} = \frac{(X - \mu)}{\sigma}
$$
其中，$\mu$ 是该特征的平均值，$\sigma$ 是该特征的标准差。
1.3.2 Min-max 标准化
对于样本 $X$ 中的每个特征：
$$
X_{normalized} = \frac{(X - X_{min})}{(X_{max} - X_{min})}
$$
其中，$X_{min}$ 是该特征的最小值，$X_{max}$ 是该特征的最大值。
1.3.3 Robust 标准化
对于样本 $X$ 中的每个特征：
$$
X_{normalized} = \frac{(X - median)}{IQR/2}
$$
其中，median 是该特征的中位数，IQR 是四分位数范围（即上四分位数和下四分位数之差）。
1.3.4 归一化
对于样本 $X$ 中的每个特征：
$$
X_{normalized} = \frac{X}{\sqrt{\sum_{i=1}{n}x_i2}}
$$
其中，$n$ 是该样本的特征数量。
2.模糊评价法（主观）(not recommended)
- 适用于未给出指标的评价问题
3.层次分析法（主观）(not recommended)
- 适用于未给出指标的评价问题
4.PCA主成分分析法（客观）
主成分分析法是一种常用的无监督降维技术，它将原始数据投影到一个新的低维度空间中，以便保留数据的最大方差。通过选择适当数量的主成分，我们可以捕捉到数据中最重要的信息，并且减少原始数据的维度。
4.1 步骤
- 数据正向化、标准化：假设我们有$p$维度的样本数据$\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, ..., \boldsymbol{x}_n)$，每一维度的数据均值为0，标准差为1。这一步的目的是为了除去维度间的量纲影响。
$$
\boldsymbol{x}_j' = \frac{\boldsymbol{x}_j-\bar{\boldsymbol{x}}}{\sigma_j} (j=1,2,...,p)
$$
其中，$\bar{\boldsymbol{x}}$是所有样本数据的均值，$\sigma_j$是第$j$维度的标准差。
-
计算协方差矩阵：计算标准化后数据的协方差矩阵。协方差矩阵描述了不同特征之间的相关性。
公式：
$$
\Sigma = \frac{1}{n-1}(X-\bar{X})^T(X-\bar{X})
$$其中，$\Sigma$ 是协方差矩阵，$X$ 是标准化后的数据矩阵，$\bar{X}$ 是每个特征的均值，$n$ 是样本数量。
-
计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。特征向量表示了数据在新的特征空间中的方向。
-
选择主成分：按照特征值的大小对特征向量进行排序，选择前k个特征向量作为主成分。这些主成分对应的特征值较大，包含了较多的原始数据信息。
-
计算投影：将原始数据投影到选定的主成分上，得到降维后的数据。
公式：
$$
Y = X_{\text{std}}W
$$其中，$Y$ 是降维后的数据矩阵，$X_{\text{std}}$ 是标准化后的数据矩阵，$W$ 是前k个特征向量组成的投影矩阵。
-
可选：重构数据：根据降维后的数据和投影矩阵，可以通过逆变换将数据重新映射到原始空间中。
公式：
$$
X_{\text{reconstructed}} = YW^T
$$其中，$X_{\text{reconstructed}}$ 是重构后的数据矩阵。
4.2 实现
>>> import numpy as np
>>> from sklearn.decomposition import PCA
# 输入待降维数据 (5 * 6) 矩阵，6个维度，5个样本值
>>> A = np.array([[84,65,61,72,79,81],[64,77,77,76,55,70],[65,67,63,49,57,67],[74,80,69,75,63,74],[84,74,70,80,74,82]])
>>> print(A)
[[84 65 61 72 79 81]
[64 77 77 76 55 70]
[65 67 63 49 57 67]
[74 80 69 75 63 74]
[84 74 70 80 74 82]]
# 直接使用PCA进行降维
>>> pca = PCA(n_components=2) #降到 2 维
>>> pca.fit(A)
PCA(n_components=2)
>>> pca.transform(A) # 降维后的结果
array([[-16.14860528, -12.48396235],
[ 10.61676743, 15.67317428],
[ 23.40212697, -13.607117 ],
[ -0.43966353, 7.77054621],
[-17.43062559, 2.64735885]])
>>> pca.explained_variance_ratio_ # 降维后的各主成分的方差值占总方差值的比例，即方差贡献率
array([0.63506778, 0.339022 ])
>>> pca.explained_variance_ # 降维后的各主成分的方差值
array([306.29319053, 163.51030959])
5.Topsis方法（客观）
Topsis综合评价方法是一种多维决策分析方法，适用于多种复杂的评估和决策场景中。为了更清楚地解释，我将对每个步骤进行更详细的说明。
首先，评估方案需要同时考虑多个评价指标，这些指标可能相互矛盾或者有不同的权重，需要通过一定的数学模型将其标准化处理，并根据相对重要性进行加权计算。Topsis方法正是基于这个框架，采用了以下的计算方法来求出每个方案在各个指标上的综合得分。
5.1 正向化
详见1.2
5.2 标准化
一般使用1.3.4的归一方法。
假设有n个方案（或实体），每个方案有m个不同的评价指标，在不同的评价指标间进行综合评估。对于每一个方案i的j指标可以通过以下的计算得到其标准化后的数值v(i,j)：
$$
v_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}n{x2_{ij}}}}
$$
其中 $x_{ij}$ 表示第i个方案的第j项指标原始数据。标准化处理将不同维度的数据范围统一到0-1之间，并且会消除数据量级之间的影响。
5.3 计算正负理想解
- 如果没有进行正向化：
对于利益类指标，如价格、收益等，需要最大化；而对于成本类指标，如成本、负债等，需要最小化。可以分别计算出每一个指标在给定n个方案中的最大值和最小值。设 第j项指标的正理想解为$v^{+}{j}$, 负理想解为$v^{-}$。具体的计算方式如下所示：
对于利益类指标：
$$
v^{+}{j} = \max{{v| i = 1, 2, \cdots, n}}
$$
$$
v^{-}{j} = \min{{v| i = 1, 2, \cdots, n}}
$$
对于成本类指标：
$$
v^{+}{j} = \min{{v| i = 1, 2, \cdots, n}}
$$
$$
v^{-}{j} = \max{{v| i = 1, 2, \cdots, n}}
$$
- 如果进行了正向化：
取每个列向量的最大值即可。
5.4 计算每个方案与正负理想解的距离
在标准化之后，可以对每一个方案与正负理想解之间的距离进行计算。设第i个方案到正理想解的距离为$S_{i}^{+}$, 到负理想解的距离为$S_{i}^{-}$。
$$
S^{+}{i} = \sqrt{\summ{(v_{ij}-v_{j})}^{2}}
$$
$$
S^{-}{i} = \sqrt{\summ{(v_{ij}-v_{j})}^{2}}
$$
其中,$m$为指标维度的数量。 $S{+}_{i}$表示方案$i$与正理想解之间的距离，$S_{i}$表示方案$i$与负理想解之间的距离，值越小越接近理想解，因此可以把正负理想解的范围展开到$[0, 1]$之间作为检验指标的依据.
5.5 计算综合得分
最终的综合得分$s_i$可以通过权衡每个指标从而得到，如下所示：
$$
s_{i} = \frac{S{-}_{i}}{S_{i}+S_{i}^{-}}
$$
其中，$S_{i}{+}$表示第$i$个方案与正理想解的距离，$S_{i}$表示第$i$个方案与负理想解的距离。综合得分$s_i$可以看作是评价指标的加权平均值。当综合得分越高时，则表示第$i$个方案越更优。
下面举一个例子来说明如何使用这种方法进行决策。例如，一家公司想在考虑多个指标情况下选择最适合的机器学习平台。他们的评价指标包括特性得分（例如各种模型类型的大小、精度等），服务质量得分（包括易用性、响应时间、数据隐私度，等等），价格得分等。我们假设有三个候选机器学习平台，评价指标如下表所示：
| 候选平台 | 特性得分（0 - 1） | 服务质量得分（0 - 1） | 价格得分（0 - 1） |
|---|---|---|---|
| 平台 A | 0.8 | 0.6 | 0.7 |
| 平台 B | 0.6 | 0.8 | 0.6 |
| 平台 C | 0.7 | 0.5 | 0.8 |
使用 Topsis 方法来计算得到每个平台的得分：
对每个评价指标进行标准化，计算符合每个标准化指标的正负理想解，计算每个平台到理想解的距离:
| 候选平台 | 特性得分 | 服务质量得分 | 价格得分 | 正理想解 | 负理想解 | 到正理想解的距离 | 到负理想解的距离 | 综合得分 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 平台 A | 0.8 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.5 | 0.2236 | 0.3606 | 0.3825 |
| 平台 B | 0.6 | 0.8 | 0.6 | 0.8 | 0.5 | 0.2828 | 0.2828 | 0.5000 |
| 平台 C | 0.7 | 0.5 | 0.8 | 0.8 | 0.5 | 0.2449 | 0.3317 | 0.4255 |
通过计算得出， 平台 B 的综合得分最高，因此可以推荐该平台作为其机器学习的首选选项。
6.灰色关联分析法（客观）
灰色关联度分析是一种比较常用的多因素综合评价方法，它可以用于确定不同的对象与某一参考对象之间关联度。如果我们把这个参考对象设置为理想中的完美对象，那么灰色关联分析法就可以分析出不同的对象的优劣。
具体实施步骤如下：
6.1 收集数据
建立评价指标矩阵，其中每行对应一个因素（评价对象），每列对应一个评价指标。评价指标可以是数量指标，也可以是质量（定性）指标，但是指标之间的具体意义必须相同。设评价指标矩阵为 $X$，其中 $x_{ij}$ 表示第 $i$ 个因素对第 $j$ 个指标的值。
我们先给出一个例子，某核心企业待选供应商的指标评价有关数据：
| 评价指标 | 对象1 | 对象2 | 对象3 | 对象4 | 对象5 | 对象6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 产品质量 | 0.83 | 0.90 | 0.99 | 0.92 | 0.87 | 0.95 |
| 产品价格（元） | 326 | 295 | 340 | 287 | 310 | 303 |
| 地理位置（千米） | 21 | 38 | 25 | 19 | 27 | 10 |
| 售后服务（小时） | 3.2 | 2.4 | 2.2 | 2.0 | 0.9 | 1.7 |
| 技术水平 | 0.20 | 0.25 | 0.12 | 0.33 | 0.20 | 0.09 |
| 经济效益 | 0.15 | 0.20 | 0.14 | 0.09 | 0.15 | 0.17 |
| 供应能力（件） | 250 | 180 | 300 | 200 | 150 | 175 |
| 市场影响度 | 0.23 | 0.15 | 0.27 | 0.30 | 0.18 | 0.26 |
| 交货情况 | 0.87 | 0.95 | 0.99 | 0.89 | 0.82 | 0.95 |
6.2 正向化和标准化并建立参考对象
对评价指标矩阵进行正向化和标准化，将各项指标转化为同一量纲下的评价指标值。其中标准化方法一般采用Min-max标准化。详见1.2与1.3。
在上面这个例子中，产品价格、地理位置、售后服务是负向指标，其他都是正向指标。预处理后的数据如下：
| 评价指标 | 对象1 | 对象2 | 对象3 | 对象4 | 对象5 | 对象6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 指标1 | 0 | 0.4375 | 1 | 0.5625 | 0.25 | 0.75 |
| 指标2 | 0.2642 | 0.8491 | 0 | 1 | 0.566 | 0.6981 |
| 指标3 | 0.6071 | 0 | 0.4643 | 0.6786 | 0.3929 | 1 |
| 指标4 | 0 | 0.3478 | 0.4348 | 0.5217 | 1 | 0.6522 |
| 指标5 | 0.4583 | 0.6667 | 0.125 | 1 | 0.4583 | 0 |
| 指标6 | 0.5455 | 1 | 0.4545 | 0 | 0.5455 | 0.7273 |
| 指标7 | 0.6667 | 0.2 | 1 | 0.3333 | 0 | 0.1667 |
| 指标8 | 0.5333 | 0 | 0.8 | 1 | 0.2 | 0.7333 |
| 指标9 | 0.2941 | 0.7647 | 1 | 0.4118 | 0 | 0.7059 |
建立参考对象，如下：
| 评价指标 | 对象1 | 对象2 | 对象3 | 对象4 | 对象5 | 对象6 | 参考对象 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 指标1 | 0 | 0.4375 | 1 | 0.5625 | 0.25 | 0.75 | 1 |
| 指标2 | 0.2642 | 0.8491 | 0 | 1 | 0.566 | 0.6981 | 1 |
| 指标3 | 0.6071 | 0 | 0.4643 | 0.6786 | 0.3929 | 1 | 1 |
| 指标4 | 0 | 0.3478 | 0.4348 | 0.5217 | 1 | 0.6522 | 1 |
| 指标5 | 0.4583 | 0.6667 | 0.125 | 1 | 0.4583 | 0 | 1 |
| 指标6 | 0.5455 | 1 | 0.4545 | 0 | 0.5455 | 0.7273 | 1 |
| 指标7 | 0.6667 | 0.2 | 1 | 0.3333 | 0 | 0.1667 | 1 |
| 指标8 | 0.5333 | 0 | 0.8 | 1 | 0.2 | 0.7333 | 1 |
| 指标9 | 0.2941 | 0.7647 | 1 | 0.4118 | 0 | 0.7059 | 1 |
由于此处进行了正向化处理和Min-max标准化，因此，此处的参考对象的各项指标只要对每一行都取最大值即可。
6.3 确定权重
确定各个指标对应的权重。但暂时不对指标矩阵的每一行进行加权处理。可用层次分析法确定这些权值。
$$
\omega =\left [ \omega _{1} ,\omega _{2} ,...,\omega {n}\right ] ,\sum^{n} \omega _{i}=1
$$
这些权值将在计算灰色关联度的时候用到。
6.4 计算灰色关联系数
我们记$x_{i}$为对象$i$，参考对象为$x_{0}$。$x_{i}$与$x_{0}$都有m个指标，我们需要求出它们在第k个指标上的关联系数。关联系数越大，代表这个实际对象越贴近于参考对象。对于n个实际对象，m个指标，$x_{i}(j)$表示实际对象i的第j个指标的值，那么，$x_{i}$与$x_{0}$在第k个指标上的关联系数的计算公式如下：
$$
\xi {i}(k)=\frac{
\min \min_{1\le t \le m} \left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right | \
+\rho \max_{1\le s \le n} \max_{1\le t \le m} \left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right |
}{
\left | x_{0}(k)-x_{i}(k) \right | \
+\rho \max_{1\le s \le n} \max_{1\le t \le m} \left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right |
}
$$
其中，$\min_{1\le s \le n} \min_{1\le t \le m} \left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right |$称为两极最小差，$\max_{1\le s \le n} \max_{1\le t \le m} \left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right |$称为两级最大差，$\rho$称为分辨系数。
两级最小差和两级最大差的计算过程，就是把指标矩阵的各个值与参考对象进行比较的过程。分辨系数$\rho$越大，分辨率就越大；$\rho$越小，分辨率就越小
在上面的例子中，我们可以算出两级最小差为0，两级最大差为1。这是由于使用了Min-max标准化方法而导致的。
6.5 计算灰色加权关联度并排序
灰色加权关联度就是每个对象的最终得分，它采用如下公式计算：
$$
r_{i}=\sum_{k=1}^{n}w_{i}\xi _{i}(k)
$$
其中，$r_{i}$ 表示待评价对象的得分，$w_{i}$是6.3中确定的权值。
最终按照各个评价对象的得分进行排序，得分高表示与各项指标的关系越密切，也就越好。
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