计算机组成原理-数据的表示与运算

标签：运算 符号 尾数 补码 进位 原理 原码 计算机

进位计数制

1. 进制分类

• 二进制（前缀为 0b）
• 八进制（前缀为 0 ）
• 十进制
• 十六进制（前缀为 0x）

2. 进制转换

• 二进制，八进制，十六进制向十进制转换
  • 二进制 》》十进制

每一位的二进制数 _ 该位数字的位权，例如：10101 = 1 *_ 24 + 0 *_ 23 + 1 *_ 22 + 0 *_ 21 + 1 *_ 20 = 21

  - 八进制 》》十进制

每一位的八进制数 _ 该位数字的位权，例如：54643 = 5 *_ 84 + 4 *_ 83 + 6 *_ 82 + 4 *_ 81 + 3 *_ 80

  - 十六进制 》》十进制

每一位的十六进制数 _ 该位数字的位权，例如：165A = 1 *_ 163 + 6 *_ 162 + 5 *_ 161 +10 * 20

• 二进制和八进制，十六进制之间相互转换
  • 二进制 》》八进制

每三位数字转换成对应的八进制数字，例如：001 111 001 100 = 1714

  - 二进制 》》十六进制

每四位数字转换成对应的十六进制数字例如：0001 1100 0101 0001 = 1C51

  - 八进制 》》二进制

每个八进制对应 3 位二进制

  - 十六进制 》》 二进制

每个十六进制对应 4 位二进制

• 十进制转换成任意进制
  • 公式推导：

  - （整数部分）每除一次基数 r ，都会得到余数 k0，也就是当前数的最低位，接着取余继续除基数，因此该方法也被称为除基取余法。

  - （小数部分）每乘一次基数 r ，都会得到整数 k-1 ，也就是当前数的最高位，接着取整继续乘基数，因此该方法也被称为乘基取整法。

3. 真值和机器数

• 真值：符合人类习惯的数字
• 机器数：数字实际存到计算机中的形式，正负号需要被“数字化”
• 例如：真值为 15 和 -8 的数字存放到计算机中就是二进制数字 0 1111 和 1 1000 其中的最前面的数字代表符号位
  

BCD码

1. 前面我们学习的二进制和十进制码之间的转换过于麻烦，为了快速的转换，我们可以使用 BCD 码（BInary-Coded Decimal），每个十进制我们都用 4 位二进制数字表示。

• 第一种：8421 码的映射关系（每一位的权值分别是 8 4 2 1 ）

当我们进行计算时，例如 3 + 3 就是 0011 + 0011 = 0110 ,对应了 8421 码中的十进制数字 6 。但是当我们相加的数字超过十进制的 9 时，我们会发现无法用 8421 码进行表示，此时我们需要加六，也就是 0110 ，从而实现进位。例如 8 + 5 = 1000 + 0101 = 1101。我们将其加上 0110 得到 0001 0011 也就是十进制的 13。

• 第二种：余 3 码（8421 码 + (0011) ）

• 第三种：2421码

为了避免歧义，我们将 0 - 4四个数字的最高位固定为 0，5 - 9 的为高位固定为 1。

无符号整数的定义和运算

1. 该计算机硬件支持的无符号整数位数有上限，假如机器的字长只有 8 位，那么通用寄存器的存储位数就只有 8 位，也就代表我们最多同时进行8 位的运算。当然我们现在的个人计算机机器的字长通常都是 64 位或者至少 32 位。

2. 定义

• 全部二进制位都是数值位，没有符号位，第 i 位的位权是 2i-1
• n bit 无符号位整数的表示范围是 0 ~ 2n-1,超出会造成溢出,意味着计算机一次无法处理这些数据
• 可以表示的最小的数是全 0 ,可以表示最大的数是全 1

3. 运算

• 加法 : 从最低位开始,按位相加,向更高位进位
• 减法 : 被减数不变,减数全部按位取反,末尾加1,减法变加法,按照加法规则进行相加,注意我们在使用 99 - 9 时,99 是被减数,9 是减数. (不需要深究为什么这样操作)
  

带符号整数的定义和运算

1. 原码,反码,补码

• 符号位"0/1"对应表示"正/负",剩余的数值位表示真值的绝对值.
• 假设机器字长的位数是 n+1 位,带符号位的原码的表示范围是 : -(2n-1) <= x <= 2n-1
• 真值0有两种方式: +0 和 -0,[0]原 = 0,0000000, [-0]原 = 1,0000000 (上述书写方式属于书面写法)
• 在进行运算时,由于计算机需要复杂的电路对符号位进行判断,因此使用补码对其进行运算.

• 由于补码转换成反码需要通过末位减 1 的复杂转换,我们可以先将其转换成原码,在转换成反码

• 当我们进行减法运算时,为了将减法运算变成加法运算,[A]补 - [B]补 = [A]补 + [-B]补因此我们需要将减数的补码转换成其负值的补码.(我们也可以使用从右向左数,从第一个1开始,左边所有位包含符号位全部都取反)

2. 移码

• 移码在补码的基础上进行符号位取反,只可以表示整数,同时要注意移码的真值0只有一种表示形式,同时移码整数的表示范围和补码相同

3. 特性对比

原码和反码的合法表示范围完全相同,都有两种方法表示真值 0 ,补码和移码的合法表示范围比原码多出一个负数,且只有一种方法表示真值 0 ，关于补码的数值计算可以使用 -1 * 符号位数值 * 权重 + 每一位的数值 * 权重。
关于补码，原码，反码的理解可以参考下面的文章：
原码、反码和补码之间符号位改变的特殊情况分析(正零+0,负零-0,)_反码+1时进位怎么办-CSDN博客
关于 -128 ，+128，-0，+0，-1 的反码补码 - 今天还是要喝水 - 博客园

定点小数

1. 定点数包含定点整数（带符号整数），定点小数

• 两者之间的区别在于隐含小数点的默认位置

2. 原码表示

• 书写时定点小数常常使用符号位加 . 表示

3. 比较

• 我们在进行位数扩展时，同时要注意扩展的位置不同。

我们需要根据小数点的位置进行判断，防止造成数值的改变

4. 计算

在进行加法运算时，从最低位开始，按位相加（符号位参与运算），向更高位进位，多出的数直接舍弃

奇偶校验码

1. 由于在进行传输中可能会出现位错误，将 1 转换成 0 ，我们在需要传输的数据中加上冗余字段作为校验码
2. 定义

• 奇校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中的“1”的个数为奇数
• 偶校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中的“1”的个数为偶数

• 例如：对于 1001101 分别求奇偶校验码，设最高位为校验位，其余 7 位为信息位

由于 1001101 的 1 的个数为 4 个，因此它的奇校验码是在最高位加上一个 1，使其成为奇数 5，偶数校验码是在最高位加上一个 0 ，加上 0 使其个数保持为偶数 4。

• 偶校验的计算机硬件实现

对于所有的二进制位进行异或运算（模2加），例如 01001101 的运算就是 0 ^ 1 ^ 0 ^ 0 ^ 1 ^ 1 ^ 0 ^ 1 = 0，如果为 0 就是正确的

• 缺陷

这种校验机制存在一定的缺陷，当两个数发生错误时，无法进行正确校验

电路基本原理及加法器设计

1. 最基本的逻辑运算

• 在门电路中，与门中如果我们是输入一个 5 v的高电平和一个 1 v的低电平，那么结果就是 1 v的低电平，如果是两个 5 v的高电平，那么结果也就是 5 v的高电平。
• 与运算的优先级高于或运算，类比于乘法和加法。

2. 复合逻辑
3. 加法器设计

• 一位全加器

当我们在进行上述的加法运算中，首先将加数和被加数设为Ai和Bi，将改位的进位设为Ci-1，接下来对于输出值（本位的和）Si和本位的进位进行讨论

我们的输入值为Ai，Bi，Ci-1，输出值Si也就是将所有输入值相加。输出值Ci的来源有两种，第一种，当本位都为1时，会发生进位。第二种，当本位中有一个1，但是低位的进位中还有一个1。将这两种情况进行或运算可以得到进位结果。

对于硬件的实现如上图所示，左侧是具体的实现方式，可以类比为一个函数的具体实现步骤，右侧是简化图，类比成一个函数的对外暴露接口。

• 串行加法器

仅使用一个全加器，数据逐位串行的送入加法器中进行运算，使用进位触发器存储信号，来参与下一次运算。

• 并行加法器
  • 串行进位的并行加法进位器

将n个全加器串接在一起，可以进行两个n位数的加法运算。
但是由于高位的相加需要低位的进位数，因此这种加法器还是逐级相加的。

• 并行进位的并行加法进位器

这种并行的并行加法器，其中的各级信号同时形成，因此也称为先行进位，同时进位。

根据上面式子，我们可以看到当进行一个运算时，我们会用到之前的所有Gi和Pi的值，当我们计算C4的时候实际上需要的值已经被提供，因此我们可以进行并行的操作。
同时随着数据的位数不断地扩大，需要的表达式也会越来越复杂，因此需要的电路设计也会越来越复杂，因此我们通常到四位就会停止，设计一个4位的CLA加法器。

补码加减运算器

1. 加法器原理

上图所示的加法器可以用来处理多位数之间的加法运算，与上面的一位全加器原理相同，只不过处理的位数不同。

2. 补码加/减法运算方法

• n位补码相加，按位相加即可
• n位补码相减，将减数全部按位取反，末位加 1 。

产生进位时，需要丢掉最高位。其实丢弃最高位的过程就是对这个数的模的取余的过程，例如上面的-8-7得到的是10001，不考虑符号位也就是17，但是由于这是一个4bit的数，超过了范围，因此需要对16取模也就是最后的结果1，也就是0001。

3. 加法器实现

• 当进行加法运算时，Sub 控制信号为 0 ，意味着多路选择器为 0 ，右边被接通，同时 Cin 中的输入为 0 ，整个程序仅仅实现 X 和 Y 的按位相加。
• 当进行减法运算时，Sub 控制信号为 1，意味着多路选择器为 1，左边被接通进行按位取反，同时 Cin 中的输入为 1，整个程序实现了 X + （-Y）的运算。
  

加减运算和溢出判断

1. 原码的加减运算
   1. 原码的加法运算

• 正+正：绝对值做加法，结果为正
• 负+负：绝对值做加法，结果为负
• 正+负：绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数
• 负+正：绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数
  2. 原码的减法运算
• 减数符号取反，转换为加法

2. 补码的加减运算

对于补码来说，无论是加法还是减法，最后都会转换成加法，由加法器实现运算，符号位也参与运算。

3. 溢出判断

• 设一个机器字长为 8 位（含一位符号位），那么它补码的范围就是 -128 到 127。

只有”正数+正数“才会上溢 – 正 + 正 = 负
只有”负数+负数“才会下溢 – 负 + 负 = 正

• 方法一：采用一位符号位

设 A 的符号为As，B的符号为Bs，运算结果的符号为Ss，则溢出逻辑表达式为

若 V = 0，表示无溢出
若 V = 1，表示有溢出

当以上两种情况出现会发生溢出现象，也就是当出现 正 + 正 = 负 和 负 + 负 = 正的现象。

• 方法二：采用一位符号位，根据数据位进位情况进行判断

根据判断Cs和C1是否相同来判断是否发生进位。V = Cs ^ C1，通过异或可以进行判断。

其中C1代表最高数值位的进位，Cs代表符号位的进位。

• 方法三：采用双符号位

正数符号为00，负数符号为11

按照上图，第一种情况可以看到前面应该是00，但是舍去了一个0，本身是正数但是结果为负数因此为上溢。第二种情况可以看到前面应该是11，但是舍去了一个1，本身是负数但是结果为正数因此为上溢。
设两个符号位为Ss1，Ss2，则 V = Ss1 ^ Ss2，若 V = 1，表示有溢出，V = 0，表示无溢出。
补充：
双符号位补码也称：模4补码
单符号位补码也称：模2补码
意为从符号位末位开始为20，到22，双符号位舍去大于等于4的位数，单符号位舍去大于等于2的位数。
实际上双符号位补码在存储中仅仅存储一个符号位，运算时会复制另外一个符号位。

4. 符号扩展

• 定点整数

在原符号位和数值位之间添加新位，正数添加0，负数原码添加0，负数反码，补码添加1

1. 正整数

0，1011010 >> 0，00000000 1011010

2. 负整数

• 原码 ：1，1011010 >> 1，00000000 1011010
• 反码 ：1，1011010 >> 1，11111111 0100101
• 补码 ：1，1011010 >> 1，11111111 0100110

其中原码直接补零，反码与原码数值位全取反，补码按照之前的规则，从右向左数找到第一个 1 ，该数的左边和反码一样，右边及其本身和原码一样。

• 定点小数

在原符号位和数值位后面添加新位，正数添加0，负数原码，补码添加0，负数反码添加1

1. 正小数

0.1011010 >> 0.1011010 00000000

1. 负整数

• 原码 ：1.1011010 >> 1.1011010 00000000
• 反码 ：1.1011010 >> 1.0100101 11111111
• 补码 ：1.1011010 >> 1.0100110 00000000
  

标志位的生成

• OF（Overflow Flag）

含义：判断有符号数的加减运算是否发生溢出，OF = 1 时，说明发生溢出。
硬件计算方式：OF = 最高位产生的进位 ^ 次高位产生的进位
注意：该方法对于无符号的判断无效

• SF（Sign Flag）

含义：有符号位数加减运算的正负性，SF = 0 表示运算结果为正数，SF = 1 表示运算结果为负数。
硬件的计算方式：SF = 最高位的本位和
注意：该方法对于无符号的判断无效

• ZF（Zero Flag）

含义：表示运算结果是否为 0 ，ZF = 1 表示运算结果为 0 ，ZF = 0 表示运算结果为非0
硬件计算方式：两个数的计算结果全为 0 时，ZF 结果为 1。

• CF （Carry Flag）

含义：表示无符号数的加减法是否发生进位或借位，当 CF = 1，说明发生了进位或借位，也就是发生了溢出。
硬件计算方式：CF = 最高位产生的进位 ^ sub （sub = 1 表示减法，sub = 0 表示加法）
关于四个标志位的实现原理参考下面的链接
聊聊运算状态标志位CF_OF_SF_ZF的底层实现_哔哩哔哩_bilibili

定点数的移位运算

1. 算数移位

• 原码的算数移位：符号位保持不变，仅对数值位进行移位。

右移：高位补0，低位舍弃。若舍弃的位 = 0，相当于 / 2，若舍弃的位 != 0,会造成精度的丢失。
左移：低位补0，高位舍弃。若舍弃的位 = 0，相当于 * 2，若舍弃的位 != 0,会造成严重的误差。

• 反码的算数移位：

正数的移位与原码相同。
负数的移位由于数值位与原码相反，规则如下。
右移：高位补1，低位舍弃。
左移：低位补1，高位舍弃。

• 补码的算数移位

正数的移位与原码相同。
由于负数的补码由于从左向右数第一个 1 的左侧与反码相同，该数及其右侧与原码相同。

右移：高位补1，低位舍弃
左移：低位补0，高位舍弃

2. 逻辑移位

• 定义：进行右移，高位补0，低位舍弃；进行左移，低位补0，高位舍弃。相当于无符号数的移位。
• 应用：例如我们需要表示一个颜色编码 102 139 139

我们可以采用逻辑移位的方式进行存储。

对于这三个数值我们可以进行分别存储，最后再相加。

3. 循环移位

• 当我们在进行一个 8 bit的运算时，可能会产生进位，但是由于机器字长有限，因此我们只好把进位存储在 CF 这个进位位中，方便带入下一轮的运算。

• 在进行循环左移中，我们会将进位位的数据放到末尾，同时将最高位的数据放到进位位。

采用循环移位可以很方便的将高字节和低字节之间进行互换。

乘法运算

1. 手算乘法

按照每一位都是数值乘以每一位的位权的方式，我们可以将乘数按位展开，然后分别乘上被乘数。

对于这个式子我们可以参考十进制的乘法方式。

对于上面的权值计算，我们可以使用移位的方式进行运算。

2. 原码一位乘法

设机器字长为 n + 1 = 5 位（含一位符号位），[x]原 = 1.1101，[y]原 = 0.1011，采用原码一位乘法求 x*y。

其中对于符号位我们可以单独使用异或处理，对于数值位取绝对值采用乘法进行处理。

对于一个乘法运算器，我们需要使用到 ACC 进行存储乘积高位，MQ 存储乘数和乘积低位，X 存储被乘数。
首先需要就 ACC 初始化为全 0，接着从 MQ 中的乘数最低位开始进行运算，当前位为 1 ，则在 ACC 上加上被乘数。

在进行第二次运算时，先将 MQ 和 ACC 中的数全部右移，接着加上被乘数和当前位的运算结果。

最后得到的结果为下图所示

最后我们对符号位进行异或处理，将得到的结果替换当前的符号位。

3. 补码的一位乘法

补码的乘法规则类似于原码：

• 辅助位 - MQ 中的最低位 = 1，（ACC）+ [x]补
• 辅助位 - MQ 中的最低位 = 0，（ACC）+ 0
• 辅助位 - MQ 中的最低位 = -1，（ACC）+ [-x]补

由于 MQ 中的位数为 n+ 2 因此会将 ACC 和 X 中存放的数转换为双符号位(n+2)。

需要注意的是，再进行了 n 轮的运算之后需要在进行一次乘法，但是不需要进行移位。

区别：

• 在原码运算中，每次加法可能是0，[ |x| ]原，在补码运算中，加法可能是0，[x]原，[-x]原。
• 在原码运算中，每次移位是“逻辑右移”，再补码运算中，每次移位是“补码的算术右移”，需要参考符号位。
• 在原码运算中，乘数的符号位不参与运算，再补码运算中，由于在 n 轮运算后还需要进行一次运算，因此需要用到乘数的符号位。
• 补码运算中由于符号位参与了运算，因此不需要根据异或进行判断符号位。
  

除法运算

1. 手算除法

由于被除数 = 除数 * 商 + 余数
我们可以先忽略小数点，然后每确定一位商，进行一次减法，得到四位余数，再得到下一位商，直到得到五位商为止（机器字长为 5 位）

2. 原码除法：恢复余数法

在进行运算时，首先我们会从商的最低位开始确认，由于计算无法判断是需要 1 还是 0 ，因此会先默认为 1 ，如果得到的结果的符号位为 1 表示负数，意味着应该取 0 。同时将被改变的余数加上除数得到之前未改变的值，该方法也称为恢复余数法。

在得到第一次的结果后，由于下一次的运算需要进行错位相减，因此需要 ACC，MQ 中的数整体左移，空位使用 0 补全。

按照这样的方法继续确定商的值，需要注意的是由于进行了逻辑左移（高位舍弃，低位补 0 ），因此我们每一次确定的商的位数都是最低位。

最后由于是定点小数，小数点隐藏在符号位后面，因此我们可以得到商的值为 0.1101 ,而对于余数还需要在此基础上 * 2-n，同时通过对除数和被除数的符号位进行异或操作，确认商的符号位。
注意：余数的符号位和商的符号位是相同的。

3. 原码除法：加减交替法

在上面的恢复余数法中，恢复余数这个过程过于麻烦，因此按照上面的数学推导，我们可以先进行左移，在加上除数，该方法也被称为加减交替法。
注意：

• 虽然该方法也被称为不恢复余数法，但是如果在最后得到的余数为负数，那么应该加上除数进行回复余数。最后根据异或判断符号位，需要注意的是余数的符号位和商的符号位一定是相同的。
• 这些方法进行的都是定点小数的计算，如果被除数大于除数的话，无法进行表示，因此我们可以通过第一次确定商时进行判断，如果是 1 的话也就意味这个被除数大于除数，硬件电路会检测到该问题，并且直接停止运算。

4. 补码除法：加减交替法

• 符号位参与运算
• 被除数，除数，余数均采用双符号位的方式进行存储。

步骤：

• 首先如果被除数和除数同号，被除数减去除数。如果异号，被除数加上除数。
• 接着如果余数和除数同号，商为 1 ，余数左移一位并且减去除数。如果余数和除数异号，商为 0 ，余数左移一位并且加上除数。
• 将上面一步重复 n 次。

同时在最后一步中不需要考虑除数和余数的符号是否相同，将末位商设为 1 即可，这样可以方便运算。
注意：在最后的余数中，我们需要使其 * 2-n，并且由于符号位参加了运算，因此不需要进行异或判断。
区别辨析：

C语言强制类型转换

• 对于无符号数和有符号数之间的转化，不改变数值本身，改变数值的解释方式。
• 对于长整数转换为短整数，舍弃高位数，保留低位数。
• 对于短整数转换为长整数，拓展相应的符号位，如果是有符号数，由于采用补码方式进行存储，因此在符号位和数值位之间加上 1 ，如果是无符号数，直接在数值位之前加上 0 。
  

数据的存储和排列

1. 大小端模式

• 对于一个连续的多字节数据，例如如图所示的十六进制数据，由于是两位数占据一个字节的存储空间，因此我们将左侧的最高位 01 命名为最高有效字节（MSB），同时将右侧的最低位 67 命名为最低有效字节（LSB）。

• 由于一个连续的数据具有大小端，因此我们在程序中的存储也有了两种方式，分别为大端存储和小端存储，对于大端存储更符合人类从左向右读的阅读习惯，对于小端存储更便于计算机在进行计算时先处理低位字节。

2. 边界对齐

• 现代计算机通常使用按字节编码的方式，即按照每个字节对应 1 个地址。
• 通常也支持按照字，按半字，按字节寻址。
• 假设存储字长为32位，则 1 个字 = 32 bit ，半字 = 16 bit。每次访存仅读写一个字。

下图为按照字节存储的方式

下图为按照半字存储的方式

下图为按照字存储的方式

• 当进行转换时，如果是将按字存储转换为按字节存储，那么就将地址向左移动两位，例如将01 -> 0100。

下图为边界不对齐方式

如果需要存储一个有 3 个 char 类型，3 个 short 类型，1 个 int 类型的结构体时。

• 通过上图的存储，我们可以看到由于一次仅可以读写一个字，当在边界不对齐时读取一个 int 时我们需要读写两次，当在边界对齐时我们仅仅需要读取一次。
• 对于边界对齐的方式属于是用空间换时间，对于边界不对齐的方式属于是用时间换空间。
  

浮点数表示

1. 从科学计数法理解浮点数

在进行十进制的运算时，为了方便数据的表示，我们使用了科学计数法进行表示一些很大的数据。由于底数 10 是固定的，因此我们可以省略 10 。

我们可以采用这样的存储方式，使用阶码和尾数分别表示数值的大小和数值的精度。

2. 浮点数的表示

• 阶码：常常使用补码或移码表示的定点整数，反映了浮点数的表示范围和小数点的实际位置。
• 尾数：常常使用原码或补码表示的定点小数，反映了浮点数的精度。

3. 规格化

为了保证尾数的最高数值位是一个有效值，我们可以采用左规和右规的方式。

• 左规：当浮点数尾数出现类似于0.01的情况时，我们可以采用左规的方式使其成为0.10 ，使其尾数算数左移一位，阶码减一。
• 右规：当浮点数运算的结果出现尾数溢出（例如：双符号位为 01 或 10），将尾数算数右移一位，阶码加一。

• 当使用原码表示的尾数进行规格化时
  • 正数为 0.1…… 的形式，表示的最大值为 0.11……1；最小值为 0.10……0
  • 负数为 1.1…… 的形式，表示的最大值为 1.10……0；最小值为 1.11……1
• 当使用补码表示的尾数进行规格化时
  • 正数为 0.1…… 的形式，表示的最大值为 0.11……1；最小值为 0.10……0
  • 负数为 1.0…… 的形式，表示的最大值为 1.01……0；最小值为 1.00……0

负数的最高数值为 0 是由于为了符号位和最高数值位不同，便于计算机硬件判断是否已经完成了规格化。

• 采用原码表示，规格化尾数最高数值位一定为 1
• 采用补码表示，规格化尾数最高数值位一定为和符号位相反

虽然使用浮点数表示的相同位数的数值大小远远大于定点数，但是仍会存在一个范围

• 当表示的浮点数范围大于了最大正数或最小负数，我们称之为正上溢或负上溢。通常当作机器 0 处理。
• 当表示的浮点数范围小于了最小正数或最大负数，我们称之为正下溢或负下溢。通常当作异常处理。
  

IEEE 754

1. 移码

在补码的基础上对符号位进行取反，注意，移码仅仅可以表示整数。
定义：移码 = 真值 + 偏置值
例如，一个 8 位移码的偏置值 = 128D = 1000 0000B ，即2n-1。
在IEEE 754的规定中，移码的偏置值为 2n-1-1。
在进行运算中，当真值为负数时，偏置值（被减数）可能出现小于真值（减数）的情况，但是由于我们的运算都是模 28的运算，因此我们可以先为被减数加上28，再进行运算。

2. IEEE 754标准

• 对于标准的浮点数来讲，由三部分组成，分别是数符，阶码（使用移码表示），尾数（使用原码表示）。
• 数符表示一个浮点数类型的正负性。阶码由于-128，-127代表的全 1 和全 0，有特殊的作用。因此，真值的表示范围是 -126 ~ 127 之间。尾数由于前面有一个默认的 1 ，因此仅仅表示 23 位即可。
• 注意：最高位为符号位，尾数中没有符号位。

• 对于一个如图所示的浮点数类型，由于阶码的真值 = 移码 - 偏置值。因此一个规格化的短浮点数类型的真值为(-1)s * 1.M * 2E-127

最小绝对值：尾数全为 0 ，阶码的真值最小为 -126，对应的机器数 0000 0001，此时整体的真值为 1.0 * 2-126
最大绝对值：尾数全为 1 ，阶码的真值最小为 127，对应的机器数 1111 1110，此时整体的真值为 1.0 * 2127
特殊情况：

• 当阶码全为 0，尾数 M 不全为 0，表示非规格化小数 正负（0.xx…x）2*2-126
• 当阶码全为 0，尾数 M 全为 0，表示真值 正负 0
• 当阶码全为 1，尾数 M 全为 0，表示真值 正负无穷大
• 当阶码全为 1，尾数不全为 0 ，表示非数值“NAN”
  

浮点数加减运算

• 先求出每个数的补码表示形式

先求出原码格式，再转换为补码格式。

1. 运算步骤
   1. 对阶

使两个数的阶码对其，小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码加 1

根据判断阶差得到两数之间的差值，接着小阶向大阶看齐。

2. 尾数相减

3. 规格化

4. 舍入

无需舍入

5. 判溢出

常阶码，无溢出

2. 舍入方法
   • “0”舍“1”入法：类似于十进制中的四舍五入，在尾数进行右移时，被移除的最高位数值位为 0 ，则舍去，被舍弃的最高数值位为 1，则在末位加 1，但是由于这样做会使得尾数溢出，一次可能还会需要一次右规。
   • 恒置“1”法：尾数进行右移时，我们丢弃的数值是“1”还是“0”，都将右移后的尾数末位恒为“1”。但是该方法同样会导致尾数变大和变小的两种可能。
3. 强制类型转换

• 如今的计算机大多数都是 64 位，但是由于计算机组成的书籍出版时间较早，因此大多数考题使用 32 位的计算机作为样本。
• 在 32 位 和 64 位中需要特别注意 long 型变量，当在进行 long 转换为 double 类型时，如果是在 32 位机器中不会有精度损失，但是在 64 位机器中，由于 double 类型的双精度浮点数的尾数的范围是52位，加上隐藏的 1 位，总共是 53 位，因此当 64 位的数据转换到 53 位中，会造成精度损失。
• 当进行 int(-231 ~ 231-1) -> float( 2-126 ~2127*[1,2) ) 时，由于int 有效数值是 32 位，float 有效数值为 24 位，因此会造成精度的损失。当 float -> int 时，可能会造成数值溢出和精度损失（当 float类型表示一个很小的数值时）。

标签：运算,符号,尾数,补码,进位,原理,原码,计算机
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