886. 可能的二分法 : 判定二分图模板题

题目描述

这是 LeetCode 上的 886. 可能的二分法 ，难度为 中等。

Tag : 「二分图」、「染色法」、「并查集」、「DFS」

给定一组 ​​n​​​ 人（编号为 ​​1, 2, ..., n​​）， 我们想把每个人分进任意大小的两组。每个人都可能不喜欢其他人，那么他们不应该属于同一组。

给定整数 ​​n​​​ 和数组 ​​dislikes​​​ ，其中  ，表示不允许将编号为  和   的人归入同一组。当可以用这种方法将所有人分进两组时，返回 ​​​true​​​；否则返回 ​​false​​。

示例 1：

输入：n = 4, dislikes = [[1,2],[1,3],[2,4]]

输出：true

解释：group1 [1,4], group2 [2,3]

示例 2：

输入：n = 3, dislikes = [[1,2],[1,3],[2,3]]

输出：false

示例 3：

输入：n = 5, dislikes = [[1,2],[2,3],[3,4],[4,5],[1,5]]

输出：false

提示：

• 
• 
• 
• 
• 
• ​​dislikes​​ 中每一组都 不同

染色法

无论是从题目描述和对点边的描述，这都是一道「染色法判定二分图」的模板题。

为了方便，我们令 ​​dislikes​​​ 为 ​​ds​​​，将其长度记为 。

题目要求我们将 个点划分到两个集合中，同时我们将每个

使用 进行建图，并将两个将要划分出的两个集合分别记为 ​​​A​​​ 和 ​​B​​，我们可以采用「染色」的方式，尝试将所有点进行划分。

构建一个与点数相等的数组 ​​color​​​，我们人为规定划分到集合 ​​A​​​ 的点满足 ，划分到集合 ​​​B​​​ 的点满足 ，起始有 ，代表该点尚未被划分。

随后我们可以实现 ​​DFS​​​ 函数为 ​​boolean dfs(int u, int cur)​​​ 含义为尝试将点 ​​u​​​ 上 ​​cur​​​ 色。根据定义可知，我们除了需要 ​​color[u] = cur​​​ 以外，还需要遍历点 ​​u​​​ 的所有出边（处理其邻点，将其划分到另一集合上），若在处理过程中发生冲突，则返回 ​​false​​​，若能顺利染色则返回 ​​true​​。

由于我们固定了颜色编号为 ​​1​​​ 和 ​​2​​​，因此 ​​cur​​​ 的对立色可统一为 ​​3 - cur​​。

最终，我们根据能否给所有点染色成功来决定答案。

Java 代码：

class Solution {
    int N = 2010, M = 2 * 10010;
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], color = new int[N];
    int idx;
    void add(int a, int {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx++;
    }
    boolean dfs(int u, int {
        color[u] = cur;
        for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (color[j] == cur) return false;
            if (color[j] == 0 && !dfs(j, 3 - cur)) return false;
        }
        return true;
    }
    public boolean possibleBipartition(int n, int[][] ds) {
        Arrays.fill(he, -1);
        for (int[] info : ds) {
            int a = info[0], b = info[1];
            add(a, b); add(b, a);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (color[i] != 0) continue;
            if (!dfs(i, 1)) return false;
        }
        return true;
    }
}

TypeScript 代码：

const N = 2010, M = 2 * 10010
const he = new Array<number>(N), e = new Array<number>(M).fill(0), ne = new Array<number>(M).fill(0), color = new Array<number>(N)
let idx = 0
function add(a: number, b: number): void {
    e[idx] = b
    ne[idx] = he[a]
    he[a] = idx++
}
function dfs(u: number, cur: number): boolean {
    color[u] = cur
    for (let i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        const j = e[i];
        if (color[j] == cur) return false
        if (color[j] == 0 && !dfs(j, 3 - cur)) return false
    }
    return true
}
function possibleBipartition(n: number, ds: number[][]): boolean {
    he.fill(-1)
    idx = 0
    for (const info of ds) {
        const a = info[0], b = info[1]
        add(a, b); add(b, a)
    }
    color.fill(0)
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        if (color[i] != 0) continue
        if (!dfs(i, 1)) return false
    }
    return true

Python 代码：

class Solution:
    def possibleBipartition(self, n: int, ds: List[List[int]]) -> bool:
        N, M = 2010, 20010
        he, e, ne, color = [-1] * N, [0] * M, [0] * M, [0] * N
        idx = 0
        def add(a, b):
            nonlocal idx
            e[idx], ne[idx], he[a] = b, he[a], idx
            idx += 1
        def dfs(u, cur):
            color[u] = cur
            i = he[u]
            while i != -1:
                j = e[i]
                if color[j] == cur:
                    return False
                if color[j] == 0 and not dfs(j, 3 - cur):
                    return False
                i = ne[i]
            return True
        for info in ds:
            a, b = info[0], info[1]
            add(a, b)
            add(b, a)
        for i in range(1, n + 1):
            if color[i] != 0:
                continue
            if not dfs(i, 1):
                return False
        return True

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

反向点 + 并查集

我们知道对于 而言，点 ​​​a​​​ 和点 ​​b​​​ 必然位于不同的集合中，同时由于只有两个候选集合，因此这样的关系具有推断性：即对于 和 可知 ​​​a​​​ 和 ​​c​​ 位于同一集合。

因此，我们可以对于每个点 ​​x​​​ 而言，建议一个反向点 ​​x + n​​​：若点 ​​x​​​ 位于集合 ​​A​​​ 则其反向点 ​​x + n​​​ 位于集合 ​​B​​，反之同理。

基于此，我们可以使用「并查集」维护所有点的连通性：边维护变检查每个 的联通关系，若 联通，必然是其反向点联通所导致，必然是此前的其他 导致的关系冲突，必然不能顺利划分成两个集合，返回 ​​​false​​​，否则返回 ​​true​​。

Java 代码：

class Solution {
    int[] p = new int[4010];
    int find(int {
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }
    void union(int a, int {
        p[find(a)] = p[find(b)];
    }
    boolean query(int a, int {
        return find(a) == find(b);
    }
    public boolean possibleBipartition(int n, int[][] ds) {
        for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) p[i] = i;
        for (int[] info : ds) {
            int a = info[0], b = info[1];
            if (query(a, b)) return false;
            union(a, b + n); union(b, a + n);
        }
        return true;
    }
}

TypeScript 代码：

const p = new Array<number>(4010).fill(0)
function find(x: number): number {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x])
    return p[x]
}
function union(a: number, b: number): void {
    p[find(a)] = p[find(b)]
}
function query(a: number, b: number): boolean {
    return find(a) == find(b)
}
function possibleBipartition(n: number, ds: number[][]): boolean {
    for (let i = 1; i <= 2 * n; i++) p[i] = i
    for (const info of ds) {
        const a = info[0], b = info[1]
        if (query(a, b)) return false
        union(a, b + n); union(b, a + n)
    }
    return true

Python 代码：

class Solution:
    def possibleBipartition(self, n: int, ds: List[List[int]]) -> bool:
        p = [i for i in range(0, 2 * n + 10)]
        def find(x):
            if p[x] != x:
                p[x] = find(p[x])
            return p[x]
        def union(a, b):
            p[find(a)] = p[find(b)]
        def query(a, b):
            return find(a) == find(b)
        for info in ds:
            a, b = info[0], info[1]
            if query(a, b):
                return False
            else:
                union(a, b + n)
                union(b, a + n)
        return True

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.886​​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

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