积性函数和狄利克雷卷积学习笔记
积性函数
定义
若函数 \(f(x)\) 满足 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，其中 \(a,b\) 互质，我们称这个函数是积性函数。
若 \(a,b\) 不互质则是完全积性函数。
常见积性函数
狄利克雷卷积
定义
也叫狄利克雷乘积。形如下式：
\[h(n)=\sum_{ab=n,a>0,b>0}f(a)g(b) \]另一种写法为：
\[h(n)=\sum_{d|n,d>0}f(d)g(\frac nd) \]不难发现两种写法等价。在数论中，也将它简记为 \(h=f * g\)。
性质
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狄利克雷卷积满足交换律和结合律。
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记 \(\epsilon(x)=\begin{cases}1,x=1\\0,x\neq1\end{cases}\)，发现对所有函数均有：\(f*\epsilon=f\)，故称 \(\epsilon\) 为单位数论函数或卷积单位元。
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若 \(f\ast g=\epsilon\)，称函数 \(g\) 是函数 \(f\) 的逆元。也记 $g=f^{-1} $，根据结合律，容易有任意函数均满足 \(f* f^{-1}=\epsilon\)。
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由于莫比乌斯函数具有性质 \(\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1,n=1\\0,n\neq1\end{cases}\)，将左式看作 \(\mu* I=\epsilon\)，不难发现 \(I\) 和 \(\mu\) 互为逆元。