安培定律
\[\def\ooint{{\bigcirc}\kern-11.5pt{\int}\kern-6.5pt{\int}} \def\oooint{{\bigcirc}\kern-12.3pt{\int}\kern-7pt{\int}\kern-7pt{\int}} \] 恒定电流只能存在于闭合回路中，但是闭合回路的形状是千变万化的，直接研究整个闭合回路的话问题会变得非常复杂。为此，干脆将载流回路分割为无限个无穷小的线元，叫做电流元，只要知道了任意一对电流元之间相互作用的基本规律，整个闭合回路的手里就可以通过矢量叠加计算出来。
在回路1中取一个电流元1，在回路2中取一个电流元2，设\({\rm d}\boldsymbol{F}_{12}\)为电流元给电流元2的力，\(I_1\)和\(I_2\)分别为它们的电流，\({\rm d}l_1\)和\({\rm d}l_2\)分别为两线元的长度，\(r_{12}\)为两电流元之间的距离，则
式中\(\boldsymbol{\hat{r}}_{12}\)为沿\(\boldsymbol{r}_{12}\)方向的单位矢量。上式就是安培定律的完整表达式。然而，由\((2.12)\)式确定的电流元之间的相互作用力不一定满足牛顿第三定律（牛顿第三定律只适用于质点间的接触作用）。但是实际中不存在孤立的恒定电流元，它们总是闭合回路的一部分。可以证明：若将\((2.12)\)式沿闭合回路积分，得到的合成作用力总是与反作用力大小相等、方向相反的。
电流单位——安培
国际上现行的电磁学单位制是\(\rm{MKSA}\)制，\(\rm{A}\)即安培。“安培”这个基本单位的定义和绝对测量正是以\((2.12)\)为依据的。力的单位是\(\rm{N=kg\cdot m/s^2}\)长度的单位是\(\rm{m}\)，对于其余部分作以下操作：
- 令比例系数\(k=\frac{\mu_0}{4\pi}\)；
- 取\(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\)；
这样确定下来的电流单位就是安培，记作\(\rm A\)。反过来可以定比例系数的量纲：
\[[\mu_0]=\frac{[F]}{[I]^2}=[F]I^{-2} \]即
\[\mu_0=4\pi\times 10^{-7} \rm N/A^2 \]磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律
库仑在得到点电荷之间的相互作用力的平方反比关系之后，经过实验证明了点磁荷之间也服从类似的公式
\[F=\frac{1}{4\pi\mu_0}\frac{q_{m1}q_{m2}}{r^2} \]上式称为磁的库仑定律。与电场强度的定义\(\boldsymbol{E}=\boldsymbol{F}/q_e\)对应地，我们引进磁场强度\(\boldsymbol{H}\)的概念
\[\boldsymbol{H}=\frac{\boldsymbol{F}}{q_{m0}} \]这里\(\boldsymbol{F}\)是试探点磁荷\(q_{m0}\)所受的力。由此可见，磁场强度矢量\(\boldsymbol{H}\)是从磁荷间的相互作用出发定义的物理量。现在我们从电流间的相互作用出发也可以定义一个描述磁场的矢量——磁感应强度矢量\(\boldsymbol{B}\).在\(\rm{MKSA}\)单位制下，真空中二者的关系为
\[\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H} \]为了求出磁感应强度的表达式，不妨采用类似于试探电荷的思路。先在\(\rm{MKSA}\)单位制中将安培定律\((2.12)\)改写为
\[{\rm d}\boldsymbol{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1I_2{\rm d}\boldsymbol{l}_2\times({\rm d}\boldsymbol{l}_1\times\boldsymbol{\hat{r}}_{12})}{{r_{12}}^2}\tag{2.17} \]然后，将电流元\(I_2{\rm d}\boldsymbol{l}_2\)视作试探电流元，将\({\rm d}\boldsymbol{F}_{12}\)视作电流元2所受的力\({\rm d}\boldsymbol{F}_2\)，用这个力来描述磁感应强度。上式拆分成两部分：
\[{\rm d}\boldsymbol{F}_{2}=I_2{\rm d}\boldsymbol{l}_2\times{\rm d}\boldsymbol{B}\tag{2.18}\]\[\boldsymbol{B}= \oint_{L1} {\rm d}\boldsymbol{B}= \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L1}\frac{I_1{\rm d}\boldsymbol{l}_1 \times\boldsymbol{\hat{r}}_{12}}{{r_{12}}^2}\tag{2.19} \] \((2.18)\)式是磁感应强度的定义式，\((2.19)\)是闭合回路\(L_1\)在电流元2的位置产生的磁感应强度的公式。有趣的是，\((2.18)\)式实际上拓展了\({\rm d}\boldsymbol{F}_2\)的含义，此时的磁场\(\boldsymbol{B}\)可以是某个闭合回路产生的，也可以是磁铁等场源产生的。
关于磁感应强度的单位：按照\((2.18)\)定义，\(\boldsymbol{B}\)的单位是\(\rm N/A\cdot m\)，这其实就是特斯拉，用\(\rm T\)表示。另外，实际中另一种单位也很常见——高斯，用\(\rm Gs\)表示。例如，线性霍尔AH49E的数据手册用的就是Gs:
两个单位的换算关系是
毕奥-萨伐尔定律
为了计算各种回路产生的磁场分布，由\((2.19)\)，取任意闭合回路、任意场点，略去1、2不写，有
\[\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L}\frac{I{\rm d}\boldsymbol{l} \times\boldsymbol{\hat{r}}}{{r}^2}\tag{2.19} \]这就是毕奥-萨伐尔定律。
亥姆霍兹线圈
取一对相同的圆形线圈，彼此平行且共轴。设两线圈内的电流都是\(I\)，且回绕方向一致，线圈的半径为\(R\)，二者的间距为\(a\)，\((1)\)求轴线上的磁场分布；\((2)\)\(a\)多大时据两线圈等远的中点\(O\)附近的磁场最均匀？
建立如图坐标系。如果两个线圈间距太远，则原点处有极小值；如果两个线圈间距太近，则原点处出现极大值。只要距离\(a\)取得合适，可以使得\(x=0\)处\({\rm d}^2B/{\rm d}x^2=0\),这时在\(O\)点附近的磁场应当是相当均匀的。即，对于不同的\(a\)来说，\(O\)点附近磁场最均匀的条件是
这一条件也可以用泰勒级数更严谨地证明。令\(B(x)\)代表总的磁感应强度，在 \(x=0\) 处的泰勒展开为
\[B(x)=B(0)+x\left(\frac{{\rm d}B}{{\rm d}x}\right)_{x=0}+\frac{x^2}{2!}\left(\frac{{\rm d}^2 B}{{\rm d}x^2}\right)_{x=0}+\frac{x^3}{3!}\left(\frac{{\rm d}^3 B}{{\rm d}x^3}\right)_{x=0}+\cdots \]由于\(B(x)=B(-x)\)，即\(B(x)\)是关于\(x\)的偶函数，所以奇次项都等于0.进一步地，如果\(\left(\frac{{\rm d}^2 B}{{\rm d}x^2}\right)_{x=0}=0\)，则
\[B(x)=B(0) + \frac{x^4}{4!}\left(\frac{{\rm d}^4 B}{{\rm d}x^4}\right)_{x=0}+o(x^4) \]新概念物理中直接将第二项和第三项合并称为\(O(x^4)\)，认为它代表的是\(x\)的四次方及更高幂次的小量，但是我没记错的话它只能代表更高阶的小量，莫非\(o\)的大小写还会带来不同的含义
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