[ABC349D] Divide Interval 题解

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题目简述

给定非负整数 \(l\) 和 \(r\)（\(l<r\)），令 \(S(l,r)\) 表示序列 \((l,l+1,\ldots,r-2,r-1)\)，其中包含从 \(l\) 到 \(r-1\) 的所有整数。此外，一个序列被称为“好序列”，当且仅当它可以表示为 \(S(2^i j,2^{i}(j+1))\)，其中 \(i\) 和 \(j\) 是非负整数。

解题思路

容易看出，使用贪心可以求解这个问题。即从左到右划分序列，每次划分的序列都是最大的即可。具体地，重复执行以下步骤：

• 当前起点为 now。
• 找到最大的合法 \(i\) 值，并反求 \(j\) 值。
• 分离序列 \((2^ij,2^i(j+1))\)。
• 将 now 更新为 \(2^i(j+1)\)。

如何找到最大的合法 \(i\) 值？

我们可以枚举 \(i\)，然后判断反推出的 \(j\) 是否合法，当 \(j\) 不合法或此时右边界越界时，就退出枚举。

因为 \(2^i\) 是指数级增长的，所以枚举的次数不会超过 \(60\)，不会超时。

注意：

1. 需要使用 long long 存储数据。

2. 如果使用位运算求解 \(2^i\) ，需要使用 (1LL << i)，否则会因为爆出 int 范围而返回错误值 \(0\)。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int l, r;
signed main() {
    cin >> l >> r;
    int now = l, num = 0;
    queue<pair<int,int>>ans; 
    while (now < r) {
        int i = 0;
        do { // 枚举 i 值
            int pow = (1LL << i);
            // 判断合法性
            if (now % pow != 0) break;
            if (pow * ((now / pow) + 1) > r) break;
        } while (++i);
        i--, num++;
        int pow = (1LL << i);
        int j = now / pow;
        ans.emplace(pow * j, pow * (j + 1));
        now = pow * (j + 1);
    }
    cout << num << endl;
    while (!ans.empty()) {
        cout << ans.front().first << " " << ans.front().second << endl;
        ans.pop();
    }
    return 0;
}