数据结构-树与二叉树

标签：pre 结点遍历中序 BT 二叉树数据结构

王道章节内容

知识框架

考纲内容

引入

因为要用到查找的部分知识，故简要引入。

要从数据中找到一个值，有静态查找（未发生插入和删除）和动态查找（发生插入和删除）两种方式。而静态查找有两种方法，一种是逐个按顺序查找，一种是高中就有介绍的二分查找。

自然而然，我们可以类似地有这样子的判定树：

ASL

“平均搜索长度”（Average Search Length），指在树中找到一个元素所需的平均比较次数。

这不禁启发我们，在计算机有没有类似的存储数据的方式？

树

定义

补充：

树与非树的判定

森林的定义

森林

森林是一组互不相交的树的集合。
森林中的每一棵树都是独立的，即不存在任何两棵树之间有边相连的情况。
森林中的所有节点和边构成了一个更大的图，但这个图本身不是一棵树，因为它包含了多棵树。

基本术语

存储结构

那么，这样的结构在计算机中该如何表示呢？

双亲表示法

/* 树的双亲表示法结点结构定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;				/* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */

typedef struct PTNode				/* 结点结构 */
{
	TElemType data;					/* 结点数据 */
	int parent;						/* 双亲位置 */
} PTNode;

typedef struct						/* 树结构 */
{
	PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];	/* 结点数组 */
	int r,n;						/* 根的位置和结点数 */
} PTree;

关于 nodes[MAX_TREE_SIZE] 的解释

数组定义: PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; 定义了一个固定大小的数组，该数组可以容纳最多 MAX_TREE_SIZE 个 PTNode 类型的结构体。数组的大小在编译时确定，不能更改。
数组元素: 数组中的每个元素都是一个 PTNode 类型的结构体实例，因此每个元素都有自己的 data 和 parent 成员变量。
数组用途: 这个数组用于存储树的所有节点。每个节点都有一个对应的索引位置，这个位置就是节点在数组中的位置。例如，根节点可能位于数组的第一个位置（假设从 0 开始计数），而其他节点根据它们在树中的位置和关系存储在数组的不同位置上。

孩子表达法

有两种“孩子法”：一种“指针域个数 = 树的度”，另一种“指针域个数 = 结点的度”（图中给出的是后者），前者会造成空间浪费，后者则需要区分“长子”与“兄弟”，这就要求有不同的结点结构：

/* 树的孩子表示法结构定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;			/* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */

typedef struct CTNode			/* 孩子结点 */
{
	int child;	
	struct CTNode *next;	
} *ChildPtr;

typedef struct 					/* 表头结构 */
{
	TElemType data;	
	ChildPtr firstchild;	
} CTBox;

typedef struct	     			/* 树结构 */
{
	CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];	/* 结点数组 */
	int r,n;					/* 根的位置和结点数 */
} CTree;

这里涉及到的struct用法：

当你使用 typedef 关键字与 struct 结合时，可以简化结构体的声明和使用。typedef 允许你为现有的类型定义一个新的名称，这样可以让你避免在每次声明结构体变量时都要写出完整的 struct 关键字和结构体定义。

struct CTNode *next;

这一行代码定义了一个结构体成员，这个成员是一个指向 CTNode 类型结构体的指针，通常用于链表中的节点连接。这里的 next 指向下一个 CTNode 类型的节点。

孩子兄弟表达法

有个人由根结点和子结点的关系得到启发，提出来“最左长子与最亲兄弟”的表示方法，如下图所示：

/* 树的孩子兄弟表示法结构定义 */
typedef struct CSNode
{
	TElemType data;	
	struct CSNode *firstchild,*rightsib;	
} CSNode,*CSTree;

二叉树表达法

当然，在树中识别“儿子”和“兄弟”还是有点烦的，我们考虑把它转个角度，变为“左和右”：

这就是二叉树的由来。

树、森林与二叉树的转换

树转换成二叉树

森林转换为二叉树

树、森林的遍历

树的遍历

森林的遍历

遍历关系

二叉树

定义

特殊二叉树

完全二叉树的判定：

判定原则：按层次从左到右编号，若出现空档，则不为完全二叉树。

性质

叶 = 支 + 1；
k 层 <= 2^（k - 1）；
树最多 2^h - 1;
太多不记；
log2（n + 1）or log2（n）+1 。

抽象数据类型定义

顺序存储结构

链式存储结构

//结果代码实现
typedef struct BiTNode  /* 结点结构 */
{
   TElemType data;		/* 结点数据 */
   struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;

重要结论：在含有 n 个结点的二叉链表中，含有 n + 1 个空链域，验证如下：

遍历

二叉树的遍历

指按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点；
使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

递归算法

遍历操作往往要设计到“递归”，这里贴一个链接帮助理解：http://t.csdnimg.cn/wraXX

递归“三要素”：

定义函数功能；
设定结束条件（ if 语句）；
寻找递进关系（ return ）。

先序遍历（根左右）

遍历过程为： ① 访问根结点； ② 先序遍历其左子树； ③ 先序遍历其右子树。

void PreOrderTraversal( BinTree BT )        //函数定义
{
     if( BT ) {                            //结束条件
         printf(“%d”, BT->Data);

         PreOrderTraversal( BT->Left );    //递进
         PreOrderTraversal( BT->Right );
     }
}

中序遍历（左根右）

遍历过程为： ① 中序遍历其左子树； ② 访问根结点； ③ 中序遍历其右子树。

void InOrderTraversal( BinTree BT )
{
     if( BT ) {
         InOrderTraversal( BT->Left );
         printf(“%d”, BT->Data);    //访问根结点
     InOrderTraversal( BT->Right );
     }
}

后序遍历（左右根）

遍历过程为： ① 后序遍历其左子树； ② 后序遍历其右子树； ③ 访问根结点。

void PostOrderTraversal( BinTree BT )
{
     if( BT ) {
         PostOrderTraversal( BT->Left );
         PostOrderTraversal( BT->Right);
         printf(“%d”, BT->Data);
     }
}

非递归算法

先序、中序和后序遍历过程：遍历过程中经过结点的路线一样，只是访问各结点的时机不同。

图中，在从入口到出口的曲线上用三角形、圆形和方形三种符号，分别标记出了先序、中序和后序访问各结点的时刻。

使用非递归算法，最关键的是什么时候访问根结点，有时候需要“摁住”不访问或者先进行访问，自然而然我们可以想象到栈的知识。（回顾：http://t.csdnimg.cn/wjT1k）

中序遍历：

算法思路：

遇到一个结点，就把它压栈，并去遍历它的左子树；
当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问它；
然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树。

void InOrderTraversal( BinTree BT )
{ BinTree T=BT;
    Stack S = CreatStack( MaxSize );     /*创建并初始化堆栈S*/
    while( T || !IsEmpty(S) ){
         while(T){        /*一直向左并将沿途结点压入堆栈*/
             Push(S,T);
             T = T->Left;
         }
         if(!IsEmpty(S)){
             T = Pop(S);     /*结点弹出堆栈*/
             printf(“%5d”, T->Data);     /*（访问）打印结点*/
             T = T->Right;     /*转向右子树*/
         }
    }
}

先序遍历：

void LeftOrderTraversal( BinTree BT )
{ BinTree T BT;
    Stack S = CreatStack( MaxSize );     /*创建并初始化堆栈S*/
    while( T || !IsEmpty(S) ){
         while(T){     /*一直向左并将沿途结点压入堆栈*/
             printf(“%5d”, T->Data);     /*（访问）打印根结点*/
             Push(S,T);
             T = T->Left;
         }
         if(!IsEmpty(S)){    
             T = Pop(S);     /*结点弹出堆栈*/
             T = T->Right;     /*转向右子树*/
         }
    }
}

层次遍历

队列回顾：http://t.csdnimg.cn/wjT1k

算法思路：

先根节点入队；
从队列中取出一个元素；
访问该元素所指结点；
若该结点的左右非空，则将其左右指针顺序入队。

void LevelOrderTraversal ( BinTree BT )
{ Queue Q; BinTree T;
    if ( !BT ) return;     /* 若是空树则直接返回 */
    Q = CreatQueue( MaxSize );     /*创建并初始化队列Q*/
    AddQ( Q, BT );
    while ( !IsEmptyQ( Q ) ) {
        T = DeleteQ( Q );
        printf(“%d\n”, T->Data);     /*访问取出队列的结点*/
        if ( T->Left ) AddQ( Q, T->Left );
        if ( T->Right ) AddQ( Q, T->Right );
    }
}

应用-二叉树构造

问题：已知四种遍历序列中的最少几种，才能确定唯一的一棵树？

答案：最少两种，且必须要有中序遍历。

先序和中序：

（ppt这张图很好，帮助理解）

后序和中序：

层序与后序：

线索二叉树

定义

前驱与后继：类似双向链表里的 pre 和 next；

左右孩子：左子树根和右子树根。

typedef char TElemType;
typedef enum {Link,Thread} PointerTag;	/* Link=0表示指向左右孩子指针, */
										/* Thread=1表示指向前驱或后继的线索 */
typedef  struct BiThrNode	/* 二叉线索存储结点结构 */
{
	TElemType data;	/* 结点数据 */
	struct BiThrNode *lchild, *rchild;	/* 左右孩子指针 */
	PointerTag LTag;
	PointerTag RTag;		/* 左右标志 */
} BiThrNode, *BiThrTree;

} BiThrNode, *BiThrTree;: 结束BiThrNode结构体的定义，并定义BiThrTree为指向BiThrNode类型的指针，通常用作树根节点的指针。

enum 是 C 语言中的一个关键字，用于定义枚举类型。枚举类型是一种用户定义的类型，它由一组命名的整数常量组成，这些常量通常用来表示一组相关的值。枚举类型提供了一种更加清晰的方式来处理一组固定的选项，而不是直接使用整数值。用法示例如下：

enum enumeration_name {
    enumerator1,
    enumerator2,
    ...
};

每个 enumerator 都是一个标识符，它代表一个整数值。默认情况下，第一个枚举器的值是 0，后续的枚举器的值依次递增 1。

构造

中序线索二叉树

/* 中序遍历进行二叉树线索化 */
void InThread(ThrTree &p, ThrTree &pre)
{ 
	if(p)
	{
		InThread(p->lchild,pre); /* 递归,左子树线索化 */
		if(!p->lchild) /* 当前结点左子树为空 */
		{
			p->LTag=1; /* 前驱线索 */
			p->lchild=pre; /* 左孩子指针指向前驱 */
		}
		if(pre->rchild && !pre->Rchild) /* 前驱结点非空且其右子树为空 */
		{
			pre->RTag=1; /* 后继线索 */
			pre->rchild=p; /* 前驱右孩子指针指向后继(当前结点p) */
		}
		pre=p; /* 保持pre指向p的前驱 */
		InThread(p->rchild); /* 递归，右子树线索化 */
	}
}

//中序遍历建立线索二叉树
void CreatInThread(ThreadTree T){
    ThreadTree pre=NULL;
    if(T!=NULL){    //非空二叉树，线索化
        InThread(T,pre);
        pre->rchild = NULL;    //处理最后一个结点
        pre->Rtag = 1;
    }
}

遍历

中序线索二叉树

不带头结点：

对于不带头结点的中序线索二叉树，其特点是：

每个叶子节点的左右指针可能被用作线索。
每个非叶子节点的左指针指向其左孩子或者指向其中序前驱。
每个非叶子节点的右指针指向其右孩子或者指向其中序后继。

算法步骤：

初始化：设置一个指针current指向根节点，并设置一个指针pre用于保存上一个访问过的节点。
寻找最左下节点：如果current的左子树存在且不是线索，则递归地向左移动直到找到最左下的节点。
访问节点：当current不再有左子树时，访问current节点，并将pre指向current。
处理右子树：如果current的右子树存在且不是线索，则重复步骤2；否则，继续到下一个节点（即中序后继）。
重复步骤3和4：直到current为空。

懒得打又没得找哈哈：

带头结点：

/* 中序遍历二叉线索树T(头结点)的非递归算法 */
Status InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T)
{ 
	BiThrTree p;
	p=T->lchild; /* p指向根结点 */
	while(p!=T)
	{ /* 空树或遍历结束时,p==T */
		while(p->LTag==Link)
			p=p->lchild;
		if(!visit(p->data)) /* 访问其左子树为空的结点 */
			return ERROR;
		while(p->RTag==Thread&&p->rchild!=T)
		{
			p=p->rchild;
			visit(p->data); /* 访问后继结点 */
		}
		p=p->rchild;
	}
	return OK;
}

先序和后序线索二叉树