二叉树
一、树型结构
1.1 树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
树的特点：
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m)又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的
注意：树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树型结构！！！
1.2 关于树的一些常用概念（很重要！！！）
结点的度： 一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为3
树的度： 一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为3
叶子结点或终端结点： 度为0的结点称为叶结点； 如上图：J、F、K、L、H、I 等节点为叶结点
双亲结点或父结点： 若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B、C、D 的父结点
孩子结点或子结点： 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点： 一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A根节点
结点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度： 树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
非终端结点或分支结点： 度不为0的结点； 如上图：B、C、D…等节点为分支结点
兄弟结点： 具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C、D是兄弟结点
堂兄弟结点： 双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：F、G互为兄弟结点
结点的祖先： 从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙： 以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林： 由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3 树的表示形式
主要有三种：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法，最常用的是孩子兄弟表示法
代码形式：
class Node{
int value;//值域
Node firstChild;//第一个孩子引用
Node nextBrother;//下一个兄弟引用
}
以下面这棵树为例：
孩子兄弟表示法：
1.4 树的应用
比如文件管理系统，打开之后是一个个的文件夹，打开一个文件夹之后又是一个个的文件夹
二、二叉树
2.1 二叉树的概念
一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
二叉树：
二叉树的根节点、左子树和右子树：
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2 两种特殊的二叉树
- 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是
2 ^ k - 1，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有
2 ^ ( i - 1 )(i>0)个结点 - 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是
2 ^ k - 1(k>=0) - 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有
n0＝n2＋1（叶子结点的数量比度为2的结点多一个） - 具有n个结点的完全二叉树的深度k为
log2（n+1）向上取整 - 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
public class BinaryTree {
//孩子表示法
int value;//数据域
Node left;//左子树
Node right;//右子树
}
public class BinaryTree {
//孩子双亲表示法
int value;//数据域
Node left;//左子树
Node right;//右子树
Node parent;//表示当前结点的根节点
}
这里采用孩子表示法来构建二叉树
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1 代码说明
为了便于快速学习并了解二叉树，这里手动创建一棵简单的二叉树
注意：下边代码并不是创建二叉树的方式，只是为了方便学习理解！！！
public class BinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode creatTree () {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;//根节点
}
}
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
2.5.2 二叉树的遍历
遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
1、前序遍历
方式：根结点 - 左子树 - 右子树
//前序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val + " ");//打印根节点
preOrder(root.left);//遍历左子树
preOrder(root.right);//遍历右子树
}
2、中序遍历
方式：左子树 - 根结点 - 右子树
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);//遍历左子树
System.out.print(root.val + " ");//打印根节点
inOrder(root.right);//遍历右子树
}
3、后序遍历
方式：左子树 - 右子树 - 根结点
//后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);//遍历左子树
postOrder(root.right);//遍历右子树
System.out.print(root.val + " ");//打印根节点
}
4、层序遍历
遍历方式：自上而下，自左至右逐层访问树的结点
2.5.3 二叉树的基本操作
1、获取树中节点的个数
代码：
public int nodeSize;
// 获取树中节点的个数 - 方式一
public int getNodeSize(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
return getNodeSize(root.left) + getNodeSize(root.right) + 1;
}
// 获取树中节点的个数 - 方式二
public void getNodeSize2(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
nodeSize++;
getNodeSize2(root.left);
getNodeSize2(root.right);
}
2、获取叶子节点的个数
代码：
public int leafCount;
//方式一 遍历思路
public void getLeafNodeCount(TreeNode root) {
if(root == null) {
return;
}
if (root.left == null && root.right == null) {
leafCount++;
}
getLeafNodeCount(root.left);
getLeafNodeCount(root.right);
}
// 获取叶子节点的个数 - 方式二
// 子问题思路-求叶子结点个数
public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
if (root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
}
3、获取第K层节点的个数
代码：
// 获取第K层节点的个数
// 例如：获取A第三层节点的个数，就是获取左子树B的第二层和右子树C的第二层，也就是获得 D E F G 的第一层！！！
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return getKLevelNodeCount( root.left,k-1 ) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}
4、获取二叉树的高度
代码：
// 获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight =getHeight(root.right);
return Math.max(leftHeight,rightHeight) +1;
}
5、测值为value的元素是否存在
代码：
// 检测值为value的元素是否存在
public TreeNode find(TreeNode root, char val){
if (root == null) {
return null;
}
if (root.val == val) {
return root;
}
TreeNode leftNodeVal = find(root.left,val);
if (leftNodeVal != null) {
return leftNodeVal;
}
TreeNode rightNodeVal = find(root.right,val);
if (rightNodeVal != null) {
return rightNodeVal;
}
return null;
}
以上就是本篇文章的全部内容！！！
