08-03 题解

A

根据题目的提示, 发现所有数的积是不变的 (\(gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b\)), 所以差大和大

简易证明

设 \(g = gcd(a, b)\), 则 \(a = a'g,\) \(b = b'g\), \(lcm(a, b) = a'b'g\)

\(gcd(a, b) + lcm(a, b) = g(1 + a'b')\)

\(a + b = g(a'+b')\)

\(gcd(a, b) + lcm(a, b) - a - b = g(a' + 1)(b' + 1) > 0\)

所以不论怎么修改, 和都会增大(前提是本次修改对序列产生变化, 如 \(a\) 是 \(b\) 的倍数就不可以)

考虑 \(gcd\), \(lcm\) 的表示形式

\(a = p_1^{x_1} * p_2^{x_2}......\)

\(b = p_1^{y_1} * p_2^{y_2}......\)

\(gcd = p_1^{min(x_1, y_1)} * p_2^{min(x_2, y_2)}\)

\(lcm = p_1^{max(x_1, y_1)} * p_2^{max(x_2, y_2)}\)

所以我们发现题目中的操作不会改变 \(p\) 的次数, 只是相当于把若干不同的 \(p\) 重新组合

所以直接贪心就行

B

题意中的 \(d\) 显然不能直接使用, 考虑把他拆成 \(dep_y - dep_x\)

那么原式就变成 \((-1)^{dep_x} * (-1) ^ {dep_y} * (a - b * dep_x + b * dep_y)\)

设 \(add_a = (-1)^{dep_x} * b\), \(add_b = (-1)^{dep_x} * (a - b * dep_x)\), 二者只和 \(dep_x\) 有关, 直接子树加即可

至于和 \(dep_y\) 有关的信息, 在单点查的时候算上就行

对于撤销操作, 用 set 存储每个 \(1\) 操作, 按照 dfn 排序, 删的时候 \(lower_bound\), 因为每个操作 \(1\) 只会被删一次, 所以复杂度正确

C

首先, 从一个点出发, 路径长度为 \(d\) 的方案数是可以矩阵快速幂求出的, 直接对邻接矩阵快速幂即可

(我居然不知道啊啊啊)

注意到 \(k\) 非常的小, 我们可以做容斥

设 \(f(S)\) 为不经过 \(i \in S\) 的天龙的方案数, 那么 \(ans = \sum (-1)^{|S| * f(S)}\)

然后就完事了 ? ! 其实不难唉