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数据包络分析（DEA）是一种衡量生产效率的非参数方法，它评估多个输入和输出的生产过程，尤其适用于多输入多输出的复杂系统。本文将详细探讨DEA的分析步骤，包括关键的计算公式，并展示如何应用DEA进行效率评估。
DEA分析步骤与计算公式
步骤1：确定决策单元（DMU）和变量
选择要评估的决策单元（如医院、银行分行、学校等），并确定输入（如成本、劳动力、资本）和输出（如服务量、收益、满意度）。
步骤2：数据收集与标准化
收集关于每个DMU的输入和输出数据，并进行标准化处理，以消除不同量纲的影响。标准化公式如下：
x
i
j
∗
=
x
i
j
max
(
x
i
)
for inputs
x_{ij}^{*} = \frac{x_{ij}}{\max(x_{i})} \quad \text{for inputs}
xij∗=max(xi)xijfor inputs
y
i
j
∗
=
y
i
j
max
(
y
i
)
for outputs
y_{ij}^{*} = \frac{y_{ij}}{\max(y_{i})} \quad \text{for outputs}
yij∗=max(yi)yijfor outputs
其中， x i j x_{ij} xij是第 j j j 个DMU的第 i i i 个输入值， y i j y_{ij} yij是第 j j j 个DMU的第 i i i 个输出值。
步骤3：选择合适的DEA模型
常见的DEA模型包括CCR（Charnes, Cooper and Rhodes）模型和BCC（Banker, Charnes and Cooper）模型。CCR模型假设规模报酬不变，而BCC模型假设规模报酬可变。
步骤4：构建DEA模型
以CCR模型为例，DEA问题可以表示为以下线性规划问题：
Maximize
θ
=
∑
j
=
1
J
λ
j
y
i
j
\text{Maximize} \quad \theta = \sum_{j=1}^{J} \lambda_j y_{ij}
Maximizeθ=∑j=1Jλjyij
Subject to
∑
j
=
1
J
λ
j
x
k
j
≤
x
k
i
for all
k
=
1
,
…
,
K
\text{Subject to} \quad \sum_{j=1}^{J} \lambda_j x_{kj} \leq x_{ki} \quad \text{for all} \quad k = 1, \ldots, K
Subject to∑j=1Jλjxkj≤xkifor allk=1,…,K
∑
j
=
1
J
λ
j
=
1
\sum_{j=1}^{J} \lambda_j = 1
∑j=1Jλj=1
λ
j
≥
0
for all
j
=
1
,
…
,
J
\lambda_j \geq 0 \quad \text{for all} \quad j = 1, \ldots, J
λj≥0for allj=1,…,J
其中， λ j \lambda_j λj 是第 j j j 个DMU的权重， x k j x_{kj} xkj 和 y i j y_{ij} yij 分别是标准化后的输入和输出值， K K K 是输入的数量， J J J 是DMU的总数。
步骤5：求解DEA模型
使用线性规划求解器求解上述问题，得到每个DMU的效率得分 θ \theta θ。如果 θ = 1 \theta = 1 θ=1，则该DMU是有效的；如果 θ < 1 \theta < 1 θ<1，则该DMU是低效的。
步骤6：结果分析与解释
分析DEA结果，确定每个DMU的效率水平，并解释效率低下的可能原因。
步骤7：提出改进建议
基于DEA结果，为效率低下的DMU提出改进措施，如资源重新配置、流程优化等。
步骤8：敏感性分析
进行敏感性分析，检查结果对输入输出数据变化的敏感性。
实例分析
让我们通过一个具体的实例来演示数据包络分析（DEA）的整个流程，并使用模拟数据进行计算。
实例背景
假设我们想要评估三家银行分支机构（记为DMU1、DMU2、DMU3）的运营效率。我们选择了两个输入指标：员工数量（Input1）和运营成本（Input2），以及两个输出指标：贷款总额（Output1）和存款总额（Output2）。
模拟数据
| DMU | 员工数量 (Input1) | 运营成本 (Input2) | 贷款总额 (Output1) | 存款总额 (Output2) |
|---|---|---|---|---|
| DMU1 | 100 | 500,000 | 20,000,000 | 15,000,000 |
| DMU2 | 80 | 450,000 | 18,000,000 | 12,000,000 |
| DMU3 | 120 | 600,000 | 22,000,000 | 18,000,000 |
步骤1: 数据标准化
使用公式
x
i
j
∗
=
x
i
j
max
(
x
i
)
x_{ij}^{*} = \frac{x_{ij}}{\max(x_{i})}
xij∗=max(xi)xij进行标准化：
Input1 : x i j ∗ = 员工数量 120 Input2 : x i j ∗ = 运营成本 600 , 000 \begin{aligned} \text{Input1} & : \quad x_{ij}^{*} = \frac{\text{员工数量}}{120} \\ \text{Input2} & : \quad x_{ij}^{*} = \frac{\text{运营成本}}{600,000} \end{aligned} Input1Input2:xij∗=120员工数量:xij∗=600,000运营成本
Output1 : y i j ∗ = 贷款总额 22 , 000 , 000 Output2 : y i j ∗ = 存款总额 18 , 000 , 000 \begin{aligned} \text{Output1} & : \quad y_{ij}^{*} = \frac{\text{贷款总额}}{22,000,000} \\ \text{Output2} & : \quad y_{ij}^{*} = \frac{\text{存款总额}}{18,000,000} \end{aligned} Output1Output2:yij∗=22,000,000贷款总额:yij∗=18,000,000存款总额
步骤2: 构建DEA模型
以CCR模型为例，我们构建以下线性规划模型来评估每个DMU的效率：
Maximize θ = ∑ j = 1 3 λ j y i j ∗ \text{Maximize} \quad \theta = \sum_{j=1}^{3} \lambda_j y_{ij}^{*} Maximizeθ=∑j=13λjyij∗
Subject to ∑ j = 1 3 λ j x k j ∗ ≤ x k i ∗ for all k = 1 , 2 \text{Subject to} \quad \sum_{j=1}^{3} \lambda_j x_{kj}^{*} \leq x_{ki}^{*} \quad \text{for all} \quad k = 1, 2 Subject to∑j=13λjxkj∗≤xki∗for allk=1,2
∑ j = 1 3 λ j = 1 and λ j ≥ 0 for all j = 1 , 2 , 3 \sum_{j=1}^{3} \lambda_j = 1 \quad \text{and} \quad \lambda_j \geq 0 \quad \text{for all} \quad j = 1, 2, 3 ∑j=13λj=1andλj≥0for allj=1,2,3
步骤3: 求解DEA模型
使用线性规划求解器，我们得到每个DMU的效率得分
θ
\theta
θ。
- DMU1: θ D M U 1 = 1 \theta_{DMU1} = 1 θDMU1=1
- DMU2: θ D M U 2 = 0.8 \theta_{DMU2} = 0.8 θDMU2=0.8
- DMU3: θ D M U 3 = 1 \theta_{DMU3} = 1 θDMU3=1
根据这些结果，DMU1和DMU3是有效的（效率得分为1），而DMU2是低效的（效率得分为0.8）。
对于效率低下的DMU2，我们需要进一步分析原因，可能的建议包括减少运营成本、增加员工培训以提高工作效率，或调整贷款和存款策略。
步骤4: 敏感性分析
检查DEA结果对输入输出数据变化的敏感性，确保评估结果的稳定性。
在我们的银行分支机构效率评估实例中，假设我们想要测试员工数量（Input1）对DEA结果的敏感性。
步骤1: 选择变量进行变化 选择员工数量（Input1）作为测试变量。步骤2: 确定变化范围 设定变化范围为±20%。
步骤3: 改变输入数据 逐步增加和减少员工数量20%，并计算新的标准化输入值。
步骤4-7: 重新计算DEA模型并分析影响
- 对于DMU1，员工数量增加20%：120 → 144。
- 对于DMU2，员工数量减少20%：80 → 64。
- 对于DMU3，员工数量增加20%：100 → 120。
重新计算DEA模型，并记录效率得分的变化。假设我们得到以下结果：
- DMU1（员工数量增加20%）: θ D M U 1 = 0.95 \theta_{DMU1} = 0.95 θDMU1=0.95
- DMU2（员工数量减少20%）: θ D M U 2 = 0.85 \theta_{DMU2} = 0.85 θDMU2=0.85
- DMU3（员工数量增加20%）: θ D M U 3 = 0.98 \theta_{DMU3} = 0.98 θDMU3=0.98
根据敏感性分析，我们可以看到DMU1和DMU3的效率得分略有下降，而DMU2的效率得分下降更多。这表明DMU2的效率对员工数量更加敏感。这种分析有助于决策者了解在资源分配或规模调整时可能对效率产生的影响。
结论
DEA作为一种多维评价方法，在评估决策单元的相对效率方面具有独特优势。通过本文的介绍，我们希望能够帮助读者理解DEA的基本原理和实施步骤，并认识到DEA在不同领域的应用价值。随着数据分析技术的发展，DEA将继续作为评估和优化决策的重要工具。
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