不定期传一些最近写的 MO 题．
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如图，在锐角 \(\triangle ABC\) 中，\(O, H\) 分别是外心和垂心，\(K\) 是 \(AH\) 的中点，\(P\) 在 \(AC\) 上，且满足 \(\angle BKP = 90^\circ\)．求证：\(OP \parallel BC\)．
证明：
如图，作直线 \(BH\) 交 \(AC\) 于点 \(D\)，连结 \(KD\)；分别过 \(O, P\) 作 \(BC\) 的垂线交于 \(E, F\)．
由 \(\angle BKP = \angle BDP = \angle BFP\)，知 \(B, F, P, D, K\) 五点共圆．在 \(\text{Rt}\triangle HDA\) 中，\(KD = KH = \displaystyle\frac{AH}{2}\)，\(\angle KDA = \angle KAD = 90^\circ - \angle C\)，故 \(\angle KDP = 90^\circ + \angle C\)．
又 \(\angle CPF = 90^\circ - \angle C\)，知 \(\angle DPF = 90^\circ + \angle C = \angle KDP\)，结合四点共圆，知四边形 \(PDKF\) 为等腰梯形．由此，\(PF = DK = \displaystyle\frac{AH}{2}\)．又 \(OE = R \cdot \cos A, AH = AB \cdot \cos A \cdot \sec (90^\circ - C) = 2R \cos A \Rightarrow OE = \displaystyle\frac{AH}{2} = PF\)，\(OE \perp BC, PF \perp BC \Rightarrow OE \parallel PF\)，知四边形 \(OEFP\) 是平行四边形，于是 \(OP \parallel BC\)，得证．