整数二分算法是一种在有序数组序列中查找特定元素的高效算法。 它通过反复将搜索范围缩小一半来进行搜索，从而快速找到目标元素的位置。这种算法适用于处理已排序的数组，通过不断地将搜索区间一分为二，来缩小查找范围，直到找到目标元素或者搜索区间为空。整数二分算法的基本思想是在每次迭代中，计算中间元素的索引，并根据目标元素与中间元素的大小关系，决定下一步搜索的区间。如果目标元素等于中间元素，则搜索结束；如果目标元素小于中间元素，则在左半部分继续搜索；如果目标元素大于中间元素，则在右半部分继续搜索。通过这种方式，算法能够显著减少必要的搜索次数，提高查找效率。
整数二分算法的实现可以细分为两种情况：寻找的边界点属于数组大于等于x的部分和寻找的边界点属于数组小于等于x的部分。
对于第一种情况：寻找的边界点(相当于例题中的起始位置）属于数组大于等于x的部分 mid=(l+r)/2
从上图我们看出，如果寻找的边界点数组属于大于等于x的部分（q[mid]>=x)，则x位于[l,mid]区间,此时再更新边界点，使r=mid，相反，x则位于[mid+1,r]区间，此时再更新边界点，使l=mid+1，具体代码如下：
//区间[l,r]被划分成为[l,mid]和[mid+1,r]时：
int bsearch_1(int l,int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid))r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}对于第二种情况：寻找的边界点（相当于例题中的终止位置）属于数组小于等于x的部分 mid=(l+r+1)/2
从上图我们可以看出，如果寻找的边界点数组属于小于等于x的部分(q[mid]<=x)，则x位于[mid,r]区间，此时再更新边界点，使l=mid;相反，则x位于[l,mid-1]区间，此时再更新边界点，使r=mid-1,具体代码如下：
//区间[l,r]被划分成为[l,mid-1]和[mid,r]时：
int bsearch_1(int l,int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid))l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}整数二分算法经典例题：给定一个按照升序排列的长度为 n的整数数组，以及 q个查询。对于每个查询，返回一个元素 k的起始位置和终止位置（位置从 0开始计数）。如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
输入：
第一行包含整数 n和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 n个整数（均在 1∼10000范围内），表示完整数组。接下来 q行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出：
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
示例如下：
输入：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出：
3 4
5 5
-1 -1
具体代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
const int N=10010;
int q[N];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++){//输入升序数组
cin>>q[i];
}
while(m--){
int x;
cin>>x;
int l=0,r=n-1;
while(l<r){//找x的起始位置
int mid=(l+r)/2;
if(q[mid]>=x) r=mid;
else l=mid+1;
}
if(q[l]!=x) cout<<"-1 -1"<<endl;
else{
cout<<l<<" ";//输出l和r都可以
int l=0,r=n-1;
while(l<r){//找x的终止位置
int mid=(l+r+1)/2;
if(q[mid]<=x) l=mid;
else r=mid-1;
}
cout<<l<<endl;//出l和r都可以
}
}
return 0;
}