hanghangakioi
考试的时候在乱猜结论，交了几遍就过了，证明当然是赛后才想的（）
文中加粗部分是需要读者稍微思考一下原因的地方 （不是重点）。
先考虑一下样例二，将 \(10^{18}\) 化成二进制：\(1101...001000000000000000000\)。
其实只需要知道末尾有 \(18\) 个 \(0\) 就行了，因为在 \(x\) 变为 \(x^{2c}\) 时，后面 \(18\) 个 \(0\) 就会变成 \(18\times 2c\) 个 \(0\)，如果再异或 \(c\)，就相当于把末尾的几位变成 \(c\)，此时除了末尾上的 \(c\)，\(x^{2c}\oplus c\) 的前面部分的数已经不会影响结果了（因为最后求 \(\operatorname{lowbit}\) 就只关心末几位的值）。所以每做一次操作，末几位都是 \(c\)，那么最后的 \(\operatorname{lowbit}\) 就是 \(\operatorname{lowbit}(c)\)。
再扩展到一般情况：
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\(c\) 是偶数，\(a\) 是奇数，那么二进制中的最后一位就始终都是 \(1\)，所以最后的 \(\operatorname{lowbit}\) 就是 \(1\)。
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\(c\) 是偶数，\(a\) 是偶数，这个就和样例二差不多：\(a\) 的二进制末尾至少有一个 \(0\)，\(a^{2c}\) 的末尾就至少有 \(2c\) 个 \(0\)，肯定比 \(c\) 的二进制的位数多，异或 \(c\) 就相当于把末尾的几位变成 \(c\)，又因为 \(c\) 是偶数，所以 \(a^{2c}\oplus c\) 的末尾也至少有一个 \(0\)，又变成了开始的情况，只不过末几位是 \(c\) 而不是 \(a\)。一直推下去，最后的 \(\operatorname{lowbit}\) 就是 \(\operatorname{lowbit}(c)\)。
-
\(c\) 是奇数，此时根据 \(a\) 的奇偶又分成两种情况：
- \(a\) 是偶数，和前面一样：\(a^{2c}\) 的末尾至少有 \(2c\) 个 \(0\)，异或 \(c\) 就相当于把末尾的几位变成 \(c\)，因为我们只关心末几位，所以就可以把原数看成 \(c\)。
- \(a\) 是奇数，那么 \(a^{2c}\) 也是奇数，因为 \(c\) 也是奇数，奇数异或奇数就变成了偶数，然后又变成了上一个情况，即奇偶交替。
- 如果最后的数是个奇数，那么 \(\operatorname{lowbit}\) 就是 \(1\)。
- 如果最后是个偶数，那么就要考虑倒数第二步。因为 \(b>1\)，所以倒数第二步的数的二进制末尾一定是 \(c\)，那么最后答案就相当于 \(\operatorname{lowbit}(c^{2c}\oplus c)\)。
其实做到这就已经做完了，但是 \(\operatorname{lowbit}(c^{2c}\oplus c)\) 还可以化简一下。
考虑用二项式定理展开 \(c^{2c}\)：
\[c^{2c}=(c-1+1)^{2c}=\sum_{i=0}^{2c} C_{2c}^{i}\times (c-1)^i=1+2c(c-1)+C_{2c}^{2}\times (c-1)^2+...+(c-1)^{2c} \]我们将上式所有项按 \(\operatorname{lowbit}\) 大小来排序，最小的两项当然是 \(1\) 和 \(2c(c-1)\)，因为 \(c-1\) 是偶数，所以 \(\operatorname{lowbit}(2c(c-1))=\operatorname{lowbit}(c-1)\times 2\)
从第三项开始，所有项的 \(\operatorname{lowbit}\) 都不小于 \(\operatorname{lowbit}(c-1)\times 2\)，所以 \(c^{2c}\) 一定可以被表示为 \(k\times \operatorname{lowbit}(2(c-1))+1\)，其中 \(k\in N^+\)。
形象点，把 \(c^{2c}\) 和 \(c\) 的二进制分别表示出来（随便一个例子，只需要看后五位）：
\(c^{2c}\)：\(1101...1010001\)
\(c\)： \(\ \ 1010...0101001\)
可以发现，最末尾的 \(1\) 会抵消，但倒数第二位不会，所以 \(\operatorname{lowbit}(c^{2c}\oplus c)=\operatorname{lowbit}(c-1)\)。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,c;
ll lb(ll x){return x&-x;}
int main()
{
cin >> a >> b >> c;
if(c&1)
{
if((a&1)^(b&1))cout << 1; //ab不同奇偶，那么最后答案就是奇数
else cout << lb(c-1); //ab同奇偶，最后答案就是偶数
}
else cout << ((a&1)?1:lb(c));
return 0;
}