Description
- \(n\) 个点的有向完全图。
- \(i \to j\) 的边每天出现的概率均为 \(p_{i,j}\)，若 \(i = j\)，有 \(p_{i,j} = 1\)。
- 每天可以选择一条存在的出边走过去或停留在原地不动。
- 求最优策略下从 \(1\) 到 \(n\) 的期望天数。
- \(n \le 10^3\)。
Solution
设 \(f_i\) 表示 \(i\) 到 \(n\) 的期望天数。
假设 \(f\) 已经求出，那么 \(i\) 每次走到的下一步 \(j\) 一定是满足 \(i\to j\) 这条边出现且 \(f_j\) 最小的点。
容易发现如果 \(f_j>f_i\) 则 \(i\) 下一步无论如何不会走到 \(j\)。
所以可以得出转移方程：
\[f_i=\sum_{f_j<f_i}p_{i,j}f_j\prod_{f_k<f_j}(1-p_{i,k})+f_i\prod_{f_j<f_i}(1-p_{i,j})+1 \]移项可得：
\[f_i=\frac{\sum_{f_j<f_i}p_{i,j}f_j\prod_{f_k<f_j}{(1-p_{i,k})}}{1-\prod_{f_j<f_i}(1-p_{i,j})} \]考虑已经确定了前 \(k\) 小的 \(f\) 值，如何求出第 \(k+1\) 小的编号。
注意到只考虑前 \(k\) 小的贡献，对于一个没确定的 \(i\)，再计算一个 \(f_j<f_i\) 对 \(i\) 贡献后 \(f_i\) 一定不会变大，所以如果当前 \(f_i<f_j\)，则 \(i\) 一定不会在 \(j\) 后面，否则 \(f_i\) 计算 \(f_j\) 的贡献后只会更小，与 \(i\) 在 \(j\) 后矛盾。
所以第 \(k+1\) 小的编号就是只考虑前 \(k\) 小的贡献的没确定的位置里 \(f\) 值最小的编号。
时间复杂度：\(O(n^2)\)。
Code