可持久化数据结构简介

分类

部分可持久化

所有版本都可以访问，但是只有最新版本可以修改。

完全可持久化

所有版本都既可以访问又可以修改。

实际应用

几何计算（扫描线），字串处理（合并操作 rope），版本回溯，函数式编程。

可持久化线段树

引入[P3834 【模板】可持久化线段树 2]

首先考虑静态全局第 \(k\) 小，可以用权值线段树，在线段树上二分，同时也支持动态全局第 \(k\) 小（单点修改）。

考虑静态区间第 \(k\) 小，对于每个前缀 \(a_{1,2,\dots,n}\) 都建一个权值线段树 \(T_i\)，\(T_i\) 中代表区间 \([l,r]\) 的节点存前缀 \(a_{i,2,\dots,n}\) 中有多少个数在 \([l,r]\) 内。

对于 \([l,r]\) 的询问，我们只需将 \(T_r\) 与 \(T_{l-1}\) 两棵树中的对应节点相减，就得到了该区间的权值线段树。

但一共需要 \(O(n^2)\) 个节点，考虑优化。

发现 \(T_i\) 较 \(T_{i-1}\) 只修改了从 \(a_i\) 对应的叶子节点到根节点的路径上的权值，共 \(O(\log n)\) 个节点。

因此，从 \(T_{i-1}\) 到 \(T_i\) 的过程中，我们只需要新建发生变化的 \(O(\log n)\) 个节点，剩下的节点与 \(T_{i-1}\) 共用（即新建根节点，被修改的儿子新建节点，未被修改的儿子仍用 \(T_{i-1}\) 的）。

区间修改同理，同样只有 \(O(\log n)\) 个节点被修改。