网络流
概述
网络（network）是指一个特殊的有向图 \(G=(V,E)\) ，其与一般有向图的不同之处在于有容量和源汇点。
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\(E\) 中的每条边 \((u, v)\) 都有一个被称为容量（capacity）的权值，记作 \(c(u, v)\)。当 \((u,v)\notin E\) 时，可以假定 \(c(u,v)=0\)。
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\(V\) 中有两个特殊的点：源点（source）\(s\) 和汇点（sink）\(t\)（\(s \ne t\)）。
一条简单增广路上存在一个流量 \(flow\) 指当前增广路上通过的流量，在最大流问题中，这个值则是增广路上所有容量的权值最小值。
- 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即 \(0 \leq f(u,v) \leq c(u,v)\)。
- 流守恒性：除源汇点外，任意结点 \(u\) 的净流量为 \(0\)。其中，我们定义 \(u\) 的净流量为 \(f(u) = \sum_{x \in V} f(u, x) - \sum_{x \in V} f(x, u)\)。
最大流
最大流是指在图 \(G\) 上选择合适的流量 \(f\) ，使得整个网络的流量。
通常大家应该能想到 dfs 去寻找每一条增广路，统计这条增广路的最大流量 \(maxflow\)，将这条增广路上所有容量减去 \(maxflow\)，表示这条路已经流过了，减去已经流过的流量。
但有时会出现特殊情况：如下图，在 dfs 中，我们会先走 \(u\rightarrow v\) 的路径，这样会使最大流只有1，但实际应该为 \(u\rightarrow q\) 和 \(p\rightarrow v\) 两条流。
所以怎么处理呢，我们发现 \(u\rightarrow v\) 的路径其实只更改了\(u\rightarrow v\) 的容量大小，所以不妨在原图上全建反边，边权容量初始为 \(0\)，若有流量经过，在原图\(-=flow\) 时，反图应\(+=flow\)。
这样就可以使最大流不出错。
\(FF(Ford-Fulkerson)增广算法\)
最基础的网络流最大流算法，也是大家最能理解的，通过 dfs 遍历增广路求最大流量，再将这条增广路上的容量减去最大容量，反边加上最大容量，反复操作直至求出答案，复杂度为 \(O(fM)\)，\(f\) 为网格的最大流。在此不再详述
\(EK(Edmonds-Karp)算法\)
就是 \(FF\) 的变形，基本思路仍不变，不过是把 dfs 变为时间更少的 bfs 算法，bfs 的优点是层次遍历，不会出现环，节省时间，实现方法与 FF 类同，复杂度为 \(O(NM^2)\)。
\(Dinic算法\)
通过使用 bfs 时进行分层，每层再使用 dfs 去寻找这个层次图 \(G_L\) 的最大增广流 \(f_b\)，\(f_b\) 称为 \(G_L\) 的阻塞流。
流程如下：
- 在 \(G_f\) 上
BFS出层次图 \(G_L\)。 - 在 \(G_L\) 上
DFS出阻塞流 \(f_b\)。 - 将 \(f_b\)并到原先的流 \(f\) 中，即 \(f \leftarrow f + f_b\)。
- 重复以上过程直到不存在从 \(s\) 到 \(t\) 的路径。
此时的 \(f\) 即为最大流。
当前弧优化
如果某一时刻我们已经知道了边 \((u,v)\) 已经增广到极限，即边 \((u,v)\) 已无剩余容量或 \(v\) 的后侧已增广至阻塞，则 \(v\) 的流量没有必要再尝试流向出边 \((u,v)\) 。据此，我们对于每个节点 \(u\)，我们维护 \(u\) 的出边表中第一条边为还有必要尝试的出边，我们称这个维护指针为当前弧。
通过这种优化，Dinic 算法时间复杂度为 \(O(N^2M)\) 。