分块

数列分块入门4

1. 区间修改
2. 区间查询

区间修改正常。但是区间查询有几个需要注意的点：

1.需要取模。（这里对喜欢疯狂取模的人我提个醒：千万不要在 bl[l] = ... 那里取模啊，把块数给模了就完全错了，还有一些不能模的地方一定要看清楚！！！）

2.用懒标记算答案的时候一定要乘上 r-l+1 ，别单点查询写多了忘记基本操作了啊。

开始讲题

这是我的部分的第一个题目，所以会讲得细一点。

分块：
数列分块算法就是把一个数列分成 \(\sqrt n\) 个块，每次处理的时候整块的用懒标记 $ O(1)$ 的时间复杂度来更新，两边的可能存在的不是整块的分散的块可以在 \(O(2 \cdot \sqrt n)\) 的时间复杂度内完成。是很优的暴力。

下面分块来讲解 分块算法。

块状数组的建立

确定块长。

大多数情况下都是取 \(\sqrt n\)

确定块的左右端点

块左端点为上一个块右端点 +1，右端点即为当前块编号乘块长。

维护块内信息

比如所属区间和区间和等内容。

len=sqrt(n);//1. 块长
for(int i=1;i<=len;i++)
	L[i]=R[i-1]+1,R[i]=i*len;//2. 块端点
R[len]=n;
for(int i=1;i<=len;i++)
	for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
		bel[j]=i;//3. 所属区间

初始化和之上所述基本没有变化。此时的块内信息需要维护区间和。

for(int i=1;i<=len;i++) //枚举块
	for(int j=L[i];j<=R[i];j++) //枚举块内的每一位
		bel[j]=i,sum[i]+=a[j]; //赋编号并统计块内和 

区间加的时候分情况讨论：在整块的和不在整块的。

1.要修改的在一个块里面

if(lin==rin) {
	for(int i=l;i<=r;i++)
		a[i]+=k,sum[lin]+=k;
	return;
}

2.要修改的不再一个块里面（一个块加上两边的不完整的块或者是好几个块）:

for(int i=l;i<=R[lin];i++)//左边的零散块
	sum[lin]+=k,a[i]+=k;
for(int i=L[rin];i<=r;i++)//右边的零散块
	sum[rin]+=k,a[i]+=k;
for(int i=lin+1;i<rin;i++)//中间的整块
	tag[i]+=k;

ps:lin和rin是开始点在的块，rin是结束点在的块。

接下来考虑区间求和。

求和的代码基本和区间修改是一样的。

我们把不再一个整块的单独用 for 循环加上。我们把整块的用懒标记乘上块的大小即可。

int query(int l ,int r, int mod) {
    int lin = bl[l], rin = bl[r];
    int ans=0;
	if(lin==rin)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)
			ans=(ans+a[i]+tag[lin])%mod;
		return ans;
	}

	for(int i=l;i<=R[lin];i++)
		ans=(ans+a[i]+tag[lin])%mod;
	for(int i=L[rin];i<=r;i++)
		ans=(ans+a[i]+tag[rin])%mod;
	for(int i=lin+1;i<rin;i++)
		ans=(ans+sum[i] + tag[i]*(R[i] - L[i] + 1))%mod;

	return ans % mod;
}

由于和上面的基本一样，就不打注释了。

完整代码，注意文章一开始说的温馨提示：

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
#define MAXN 100005

using namespace std;

int n;
int len;
int a[MAXN];
int c;

int L[MAXN], R[MAXN];
int bl[MAXN];
int sum[MAXN];
int tag[MAXN];

void update(int l, int r, int val) {
    int lin = bl[l]; 
    int rin = bl[r];

    if (lin == rin) {
        for (int i = l; i <= r; ++i) {
            sum[lin] += val;
            a[i] += val;
        }
        return ;
    }
    for (int i = l; i <= R[lin]; ++i) {
        sum[lin] += val;
        a[i] += val;
    }
    for (int i = L[rin]; i <= r; ++i) {
        sum[rin] += val;
        a[i] += val;
    }
    for (int i = lin+1; i < rin; ++i) {
        tag[i] += val;
    }

    return ;
}

int query(int l ,int r, int mod) {
    int lin = bl[l], rin = bl[r];
    int ans=0;
	if(lin==rin)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)
			ans=(ans+a[i]+tag[lin])%mod;
		return ans;
	}

	for(int i=l;i<=R[lin];i++)
		ans=(ans+a[i]+tag[lin])%mod;
	for(int i=L[rin];i<=r;i++)
		ans=(ans+a[i]+tag[rin])%mod;
	for(int i=lin+1;i<rin;i++)
		ans=(ans+sum[i] + tag[i]*(R[i] - L[i] + 1))%mod;

	return ans % mod;
}

signed main() {
    cin >> n;
    len = sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }

    for (int i = 1; i <= len; ++i) {
        L[i] = (R[i - 1] + 1);
        R[i] = len * i; 
    }
    R[len] = n;

    for (int i = 1; i <= len; ++i) {
        for (int j = L[i]; j <= R[i]; ++j) {
            bl[j] = i;
            sum[i] += a[j];
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int opt, l ,r;
        cin >> opt >> l >> r >> c;
        if (opt == 0) {
            update(l, r, c);
        }
        if (opt == 1) {
            cout << query(l, r, c+ 1) % (c+1) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

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