鲁棒核稀疏子空间聚类模型（Robust Kernel Sparse Subspace Clustering, RKSSC）
引言
鲁棒核稀疏子空间聚类模型（RKSSC）是一种用于处理高维数据的聚类技术，特别设计用于对抗数据中的噪声和异常值。
该模型结合了稀疏表示、核方法和鲁棒优化策略，以在非线性子空间中寻找数据点的稀疏表示，同时最小化噪声和异常值的影响。
原理
RKSSC 的核心是利用核技巧将数据点映射到高维特征空间，然后在这个空间中寻找数据点的稀疏表示。
同时，它采用鲁棒优化策略，比如使用 L 1 L_1 L1范数来惩罚误差，以增强对噪声和异常值的鲁棒性。
数学模型
假设我们有一组数据点 X = { x 1 , x 2 , … , x N } \mathbf{X} = \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_N\} X={x1,x2,…,xN}，其中 x i ∈ R d \mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^d xi∈Rd。
在 RKSSC 中，我们的目标是找到一个稀疏表示矩阵
Z
\mathbf{Z}
Z，使得每个数据点
x
i
\mathbf{x}_i
xi 都可以表示为其他数据点在高维特征空间中的线性组合，同时使表示误差和稀疏性之间的权衡最小。
目标函数
RKSSC 的目标函数可以表示为：
min Z , E 1 2 ∥ K − K Z − E ∥ F 2 + λ ∥ Z ∥ 1 + γ ∥ E ∥ 1 \min_{\mathbf{Z},\mathbf{E}} \frac{1}{2} \left\| \mathbf{K} - \mathbf{KZ} - \mathbf{E} \right\|_F^2 + \lambda \left\| \mathbf{Z} \right\|_1 + \gamma \left\| \mathbf{E} \right\|_1 Z,Emin21∥K−KZ−E∥F2+λ∥Z∥1+γ∥E∥1
这里：
-
K
\mathbf{K}
K 是
核矩阵，其中 K i j = k ( x i , x j ) K_{ij} = k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) Kij=k(xi,xj) 是核函数k ( ⋅ , ⋅ ) k(\cdot, \cdot) k(⋅,⋅) 计算的相似度； -
Z
\mathbf{Z}
Z 是
表示矩阵，其中 Z i j Z_{ij} Zij 表示数据点 x i \mathbf{x}_i xi 使用数据点 x j \mathbf{x}_j xj 的程度； -
E
\mathbf{E}
E 是
误差矩阵，用于表示噪声或异常值； - ∥ ⋅ ∥ F \left\| \cdot \right\|_F ∥⋅∥F 是 Frobenius 范数，衡量矩阵元素的平方和的平方根；
-
∥
⋅
∥
1
\left\| \cdot \right\|_1
∥⋅∥1 是 L1 范数，
用于促进稀疏性； - λ \lambda λ 和 γ \gamma γ 是正则化参数，用于平衡稀疏性和鲁棒性。
约束条件
RKSSC 还包含一些约束条件以确保解的合理性，例如：
Z ⊙ I = 0 , Z 1 = 1 \mathbf{Z} \odot \mathbf{I} = \mathbf{0}, \quad \mathbf{Z}\mathbf{1} = \mathbf{1} Z⊙I=0,Z1=1
其中：
- I \mathbf{I} I 是单位矩阵， 0 \mathbf{0} 0 和 1 \mathbf{1} 1 分别是零矩阵和全一矩阵；
-
⊙
\odot
⊙ 表示
Hadamard 乘积（逐元素乘积），确保数据点不使用自身进行表示； - 第二个约束
确保每个数据点的表示是通过其他数据点的线性组合给出的。
聚类过程
一旦找到表示矩阵 Z \mathbf{Z} Z，就可以构建相似度矩阵 W \mathbf{W} W，并使用谱聚类算法对数据点进行聚类。相似度矩阵可以是 Z \mathbf{Z} Z 的绝对值矩阵，或者更常见的是使用 ∣ Z ∣ + ∣ Z ⊤ ∣ |\mathbf{Z}| + |\mathbf{Z}^\top| ∣Z∣+∣Z⊤∣ 来构建。
结论
鲁棒核稀疏子空间聚类模型（RKSSC）通过结合稀疏表示、核方法和鲁棒优化策略，能够有效地处理高维数据的聚类问题，特别是当数据受到噪声和异常值影响时。
RKSSC 在高维特征空间中寻找数据点的稀疏表示，同时最小化噪声和异常值的影响，从而提高了聚类的准确性和鲁棒性。
标签：Clustering,Kernel,mathbf,鲁棒核,矩阵,稀疏,聚类,RKSSC,数据 From： https://blog.csdn.net/weixin_50569789/article/details/140553936