[NOIP2009 提高组] Hankson 的趣味题
题目描述
Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c 1 c_1 c1 和 c 2 c_2 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a 0 , a 1 , b 0 , b 1 a_0,a_1,b_0,b_1 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x x x 满足：
-
x x x 和 a 0 a_0 a0 的最大公约数是 a 1 a_1 a1；
-
x x x 和 b 0 b_0 b0 的最小公倍数是 b 1 b_1 b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x x x。但稍加思索之后，他发现这样的 x x x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x x x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入格式
第一行为一个正整数 n n n，表示有 n n n 组输入数据。接下来的$ n$ 行每行一组输入数据，为四个正整数 a 0 , a 1 , b 0 , b 1 a_0,a_1,b_0,b_1 a0,a1,b0,b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a 0 a_0 a0 能被 a 1 a_1 a1 整除， b 1 b_1 b1 能被 b 0 b_0 b0 整除。
输出格式
共 n n n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x x x，请输出 0 0 0，若存在这样的 x x x，请输出满足条件的 x x x 的个数；
样例 #1
样例输入 #1
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
样例输出 #1
6
2
提示
【样例解释】
第一组输入数据， x x x 可以是 9 , 18 , 36 , 72 , 144 , 288 9,18,36,72,144,288 9,18,36,72,144,288，共有 6 6 6 个。
第二组输入数据， x x x 可以是 48 , 1776 48,1776 48,1776，共有 2 2 2 个。
【数据范围】
- 对于 50 % 50\% 50% 的数据，保证有 1 ≤ a 0 , a 1 , b 0 , b 1 ≤ 10000 1\leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 10000 1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且 n ≤ 100 n \leq 100 n≤100。
- 对于 100 % 100\% 100% 的数据，保证有 1 ≤ a 0 , a 1 , b 0 , b 1 ≤ 2 × 1 0 9 1 \leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 2 \times 10^9 1≤a0,a1,b0,b1≤2×109 且 n ≤ 2000 n≤2000 n≤2000。
题目来源
NOIP 2009 提高组 第二题（洛谷）
题解
#include <cstdio>
using namespace std;
// 求两个整数的最大公约数
int gcd(int a, int b) {
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int main() {
int T;
// 读取输入数据的组数
scanf("%d", &T);
while (T--) {
int a0, a1, b0, b1;
// 读取一组输入数据
scanf("%d%d%d%d", &a0, &a1, &b0, &b1);
// 计算中间变量 p 和 q
int p = a0 / a1;
int q = b1 / b0;
int ans = 0;
// 遍历 b1 的所有因子
for (int x = 1; x * x <= b1; x++) {
if (b1 % x == 0) {
// 检查 x 是否满足所有条件
if (x % a1 == 0 && gcd(x / a1, p) == 1 && gcd(q, b1 / x) == 1) {
ans++;
}
// 得到 b1 的另一个因子
int y = b1 / x;
if (x == y) continue; // 避免重复计算
// 检查 y 是否满足所有条件
if (y % a1 == 0 && gcd(y / a1, p) == 1 && gcd(q, b1 / y) == 1) {
ans++;
}
}
}
// 输出满足条件的 x 的个数
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}