流形对齐方法
- 解决
异构多源数据中存在关联缺失的问题
流形对齐（Manifold Alignment）是一种在流形学习领域的典型方法，主要用于处理来自不同分布或不同数据源的数据集，目的是将它们投影到同一特征空间中，同时保持各自原有的流形结构和样本间的相似性。
流形对齐方法在迁移学习、领域适应和多视图学习中有广泛的应用，能够有效解决不同数据集之间的差异性问题，尤其在数据集间没有直接对应关系时尤为有用。
流形对齐的步骤与公式
流形对齐的基本思想是将不同的流形投影到同一空间中，同时匹配相应的实例并保持它们的几何结构。流形对齐可以分为有监督、半监督和无监督三种形式，分别根据数据集间是否存在对应关系信息而定。
1. 数据预处理
首先，将每个数据集
X
(
i
)
X^{(i)}
X(i)（
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
i = 1, 2, ..., m
i=1,2,...,m，其中
m
m
m是数据源的数量）标准化，以消除尺度效应。数据集
X
(
i
)
X^{(i)}
X(i)中的每个样本可以表示为
x
j
(
i
)
x_j^{(i)}
xj(i)，其中
j
j
j是样本的索引。
2. 构建邻接矩阵
对于每个数据集
X
(
i
)
X^{(i)}
X(i)，构建一个邻接矩阵
W
(
i
)
W^{(i)}
W(i)来表示样本间的相似度。邻接矩阵的元素
w
j
k
(
i
)
w_{jk}^{(i)}
wjk(i)表示样本
x
j
(
i
)
x_j^{(i)}
xj(i)和
x
k
(
i
)
x_k^{(i)}
xk(i)之间的相似度，可以通过高斯核函数计算得出：
w
j
k
(
i
)
=
e
−
∣
∣
x
j
(
i
)
−
x
k
(
i
)
∣
∣
2
2
σ
2
w_{jk}^{(i)} = e^{-\frac{||x_j^{(i)} - x_k^{(i)}||^2}{2\sigma^2}}
wjk(i)=e−2σ2∣∣xj(i)−xk(i)∣∣2
其中，
σ
\sigma
σ是带宽参数，控制相似度衰减的速度。
3. 构建拉普拉斯矩阵
基于邻接矩阵
W
(
i
)
W^{(i)}
W(i)，构建拉普拉斯矩阵
L
(
i
)
L^{(i)}
L(i)，它描述了数据集
X
(
i
)
X^{(i)}
X(i)的流形结构：
L
(
i
)
=
D
(
i
)
−
W
(
i
)
L^{(i)} = D^{(i)} - W^{(i)}
L(i)=D(i)−W(i)
其中，
D
(
i
)
D^{(i)}
D(i)是度矩阵，其对角线元素
d
j
j
(
i
)
d_{jj}^{(i)}
djj(i)等于
W
(
i
)
W^{(i)}
W(i)中第
j
j
j行的和，即：
d
j
j
(
i
)
=
∑
k
w
j
k
(
i
)
d_{jj}^{(i)} = \sum_{k} w_{jk}^{(i)}
djj(i)=k∑wjk(i)
4. 构建对齐目标函数
流形对齐的目标是找到一个映射函数
f
f
f，将所有数据集
X
(
i
)
X^{(i)}
X(i)映射到一个共同的特征空间，同时保持各数据集内部的流形结构。目标函数可以表示为：
L
=
∑
i
=
1
m
T
r
(
(
f
(
X
(
i
)
)
−
f
(
X
(
i
)
)
)
T
L
(
i
)
(
f
(
X
(
i
)
)
−
f
(
X
(
i
)
)
)
)
\mathcal{L} = \sum_{i=1}^{m} Tr((f(X^{(i)}) - f(X^{(i)}))^T L^{(i)} (f(X^{(i)}) - f(X^{(i)})))
L=i=1∑mTr((f(X(i))−f(X(i)))TL(i)(f(X(i))−f(X(i))))
目标是寻找使
L
\mathcal{L}
L最小化的映射函数
f
f
f，这样可以保持每个数据集内部的流形结构。
5. 求解目标函数
求解上述目标函数通常是一个优化问题，可以通过梯度下降、拉格朗日乘子法或其他优化算法来求解。一旦找到映射函数 f f f，就可以将所有数据集映射到同一特征空间中，从而完成流形对齐。
公式的具体作用
- 邻接矩阵
W
(
i
)
W^{(i)}
W(i)：表示数据集内部样本间的
相似度，是流形结构的基础。 - 拉普拉斯矩阵
L
(
i
)
L^{(i)}
L(i)：描述了数据集的流形结构，
保持样本间的相对位置。 - 目标函数 L \mathcal{L} L：衡量了映射后数据集流形结构的保持程度，最小化 L \mathcal{L} L可以保证映射后的数据仍然保持原始流形结构。