手算开平方

一. 如何手算开平方

举个例子，比如说根号 \(114514\)，是这么手算开平方的：

这其中有几个重点值得我们注意。

• 我们发现，数字 \(114514\) 被分成了两个数字为一段的很多小段，每一小段上面有一个得出的数值。这个过程类似除法得出商的过程。

• 请看到每个式子中根号左边的数值，我们暂且叫他“被开数”。被开数是怎么得出来的呢？我们先看第一个被开数 \(3\), \(3*3=9\) 是最大的小于第一段小区间 \(11\) 的完全平方数。 这个时候，我们在小区间 \(11\) 的上方写上 \(3\) 。 我们再来看第二个被开数 \(63\) ，其实63这个被开数最开始只有 \(6\) , \(3\) 是我们后添上的。这个 \(6\) 就是最上面的“商”乘 \(2\) 得出的结果。为什么我们要填上 \(3\) 呢，我们发现\(63*3=189\) 是最大的小于 \(245\) 的数字（按照这个规律来的数字中）。这个 \(245\) 就是\(11-9=2\) 和 小段 \(45\) 落下来的结果，和除法竖式类似，请看图自行脑补。

• 我们再次巩固一下。譬如说第三个“被开数”是 \(668\)，其实最开始只有 \(66\) , \(8\) 是我们后添上的。\(66\) 就是上面的商 \(33\) 乘 \(2\) 得到的结果。而\(668*8=5344\)是最大的小于5614的数字（按照这个规律来的数字中）。而 \(5614\) 就是 \(245-189=56\) 和 \(14\) 落下来后的结果。和除法竖式类似，看图自行脑补。

-如果我们想更加精确地算出带有小数点的开方结果。我们只需要在 \(114514\) 后面加一个小数点，然后写一堆 \(0\) ，还是两两分组照着整数部分的来就行，请看图自行理解。

WARNING：以下的部分会涉及烧脑，对大脑的损伤不亚于核辐射，请斟酌后观看。本人对各位的大脑 \(IQ\) 损失不承担任何责任。

我们再补充一下。大家想想，\(114514\) 这个数字非常美妙，可以分成两两一组而没有任何的多余。

但是，\(108\) 这个数字就不那么幸运了,我们不论怎么两个两个分，都会有一个数字剩下。这个时候，我们这样分就行了： \([1][0, 8]\)。

阅读下面的内容时请确保这一章已经读懂，这条规定生效于每一章。

二. 为什么这样手算开平方？

我们会有疑问的点有以下几点：

1. 为什么要分成两个数字这样两两一段？
2. 为什么被开数的计算这么奇怪？

对于这两个核心的问题，我们可以这样解决：

我们需要明确的是，这种竖式的手算开平方其实就是一种代数算法的直观性表达。我们完全可以用代数式来解释和运用手算开平方的这种思想。

问题1：为什么一个数字要分成两两一段？

1位数        2位数        3位数        4位数

0~9         10~99       100~999      1000~9999 （原数）

1~2位        3~4位        5~6位       7~8位     （平方后）

比如说，一个2位数 \(60\)，开平方之后的 \(3600\) 就是一个 \(4\) 位数。
或是一个两位数 \(30\)，开平方之后的 \(900\) 就是一个 \(3\) 位数。

我们之所以两个两个分成一段，是因为一个位数开平方后对应两个位数，见上表。

我们现在思考一个问题。对于有奇数个数位的数字，比如说 \(108\)，我们为什么会把它分成 \([1][0,8]\) 而不把他分成 \([1,0][8]\) 呢？按理说这样的分发不应该没有区别吗？

其实，\(108\) 这个数字可以理解为 \(108.0000000...\) 我们的手算开平方就可以按照这样的顺序不停地进行下去。我们想象，如果我们把它分成了\([1,0][8]\) 的话，就会出现这种情况。

$10 | 8.0 | 00 | 00... $ 我们在这个时候，会发现小数点不明确，这样的小数点不明确显然会出现大问题，故：有奇数数位的数字，第一个分区只有一个数字。

问题2：为什么被开数的计算这么奇怪？

我们主要研究的问题是，为什么被开数要乘上20再加上一个数，再乘上加上的这个数字。

数学代数证明：

比方说我们要开方 \(1145\)，分区：\([1,1][4,5]\)

\(1145 = (30 + x)^2\)

\(1145 = x^2 + 60x + 900\)

\(245 = x^2 + 60x\)

\(245 = x(x + 60)\)

我们知道 \(x(x + 60)\) 就差不多是我们的被开数了。\(60\) 就是 \(3 * 20\) 的结果。

证明完毕。

我们还可以加深一步，证明 \(1145\) 的第三个被开数。

\(1145 = (x + 33) ^ 2\)

\(1145 = x^2 + 66x + 1089\)

\(56 = x^2 + 66x\)

\(56 = x(x + 66)\)

完事！

三. 如何手算开立方

大概长这样，主要讲原理

设 \(N\) 为被开立方的数字。

\(N = (10x + y) ^ 3\)

\(N = 1000x^3 + 300x^2y + 30xy^2 + y^3\)

\(N = 1000x^3 + y(y^2 + 300x^2 + 30xy)\)

\(N = 1000x^3 + y(y^2 + 30x(10x + y))\)

我们整理成这样，差不多就可以运用到竖式中去了
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~4~~~~~8\)
\(~~~~~~~~4\sqrt{114514}\)
\(~~~~~~~~~~~~~~~64\)
\(~5296\sqrt{~50514}\)
\(~~~~~~~~~~~~~42368\)

我们发现，平方根的乘上20变成了 \((x^2 + 4800 + 120y)\) ，这样的规律显然很难了

四. 如何手算开五次方